Calcular a distância entre os pontos

[Felipy]

Considerando, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de comprimento é o quilômetro, a região limitada pelos gráficos das funções f(x) = 12 x e g(x) = 3x2, no intervalo 0 < x < a, em que a > 0 é tal que f(a) = g(a), julgue o(s) item(ns) a seguir.
Considere que, para cada x do intervalo 0 < x < a, seja calculada a distância entre os pontos (x, f(x)) e (x, g(x)). Nesse caso, a maior dessas distâncias é igual a 9 km.

[Sobolev]

Em primeiro lugar, resolvendo a equação \(f(x)=g(x)\) rapidamente vê que x=0 ou x=4. Como além disso no intervalo [0,4] a recta estará sempre acima da parábola, o que se pretende é determinar o máximo da função \(h(x)=12x-3x^2\) no intervalo [0,4]. Como a diferença em x=0 e em x=4 é zero, o máximo deve ocorrer num ponto do interior do intervalo onde a derivada \(h'(x)\) se anule. Ora,
\(h'(x)=0 \Leftrightarrow 12 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Nesse ponto a diferença entre os valores de f e g e dada por \(h(2)= 12 \times 2 - 3 \times 2^2 = 24 - 12 = 12\). A afirmação é por isso falsa.