Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício e está a 0,30 m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro.

x=escada do chão ao topo do muro
y=escada do topo do muro à parede do edificio

como a angulação \(\theta\) da escada em relação ao chão e ao topo do muro é a mesma, então:

\(\frac{0,3}{y}=cos \theta
y=\frac{0,3}{cos \theta}\)

\(\frac{3}{x}=sen \theta
x=\frac{3}{sen \theta}\)

logo,
o tamanho da escada é:

\(x+y=\frac{3}{sen \theta}+\frac{0,3}{cos \theta}\)
\(x+y=\frac{3 cos \theta + 0,3 sen \theta}{sen \theta.cos \theta}\)

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Jorge... só faltou achar o tamanho da menor escada....

Abraços!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,
não sei calcular valor máximo e mínimo através de derivada, você pode ajudar o jurexjurex ?

Abraço meu amigo!

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Bom dia!

Aproveitando sua função, realizo a derivada em função do ângulo theta. E, para encontrar os pontos críticos (candidatos a máximo ou mínimo), igualo a derivada a zero. Então:
\(f(\theta)=\frac{3}{\sin{\theta}}+\frac{0,3}{\cos{\theta}}
f'(\theta)=-\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}
f'(\theta)=0
-\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}=0
\frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}
\frac{\sin^3{\theta}}{\cos^3{\theta}}=\frac{3}{0,3}
\tan{\theta}=\sqrt[3]{10}
\theta\approx{65,1+180k}\)

Analisando o sinal da função derivada, vemos que para valores menores que 65,1, ou seja, à esquerda deste ponto, temos f'<0 e, para valores maiores que 65,1, ou seja, à direita deste ponto, f'>0. Então, este é um ponto de MÍNIMO.

Portanto, para um ângulo de 65,1 graus temos o menor tamanho possível da escada.

Calculando o tamanho da escada:
\(f(65,1)=\frac{3}{\sin{65,1}}+\frac{0,3}{\cos{65,1}}
f(65,1)=4,02m\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Uma alternativa, sem funções trigonométricas. Se imaginarmos um referencial x0y em que a escada está encostada à parte positiva do eixo dos yy e pousada na parte positiva dos eixo dos xx, a escada faz parte da recta de equação \(y-3 = m(x-0.3)\). O comprimento da escada é neste caso dado por

\(c(m)=\sqrt{\left(\frac{3}{10}-\frac{3}{m}\right)^2+\left(3-\frac{3 m}{10}\right)^2}\)

Facilmente vemos que esta função é convexa no intervalo relevante dos declives, e que o único ponto crítico é \(m= -\sqrt[3]{10}\). Assim esse ponto é um minimizante global e o comprimento mínimo da escada é dado por
\(\sqrt{\left(3+\frac{3}{10^{2/3}}\right)^2+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{\sqrt[3]{10
}}\right)^2} \approx 4.01998\)

Sobolev, boa noite!

Poderia explicar um pouco mais detalhadamente o processo que usou? Não consegui entender onde estaria o zero dos eixos na sua ideia. Tentei pelo zero no pé do muro mas acho que não cheguei na mesma equação do comprimento da escada. Também não entendi o motivo do ponto de mínimo.
Agradeço!

Abraços!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Bom dia,

A "minha" escada está exactamente ao contrário da da figura (sobe-se a escada da direita para a esquerda). A parede de tijolo é o eixo dos yy e o chão é o eixo dos xx. O ponto de contacto da escada com a cerca é o ponto (0.3, 3).