Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício e está a 0,30 m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro.
| Anexos: |
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| [Máximos e Mínimos - Derivada] https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=10572 |
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| Autor: | jurexjurex [ 07 mar 2016, 10:23 ] | ||
| Título da Pergunta: | [Máximos e Mínimos - Derivada] | ||
Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício e está a 0,30 m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro.
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| Autor: | jorgeluis [ 07 mar 2016, 13:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
x=escada do chão ao topo do muro y=escada do topo do muro à parede do edificio como a angulação \(\theta\) da escada em relação ao chão e ao topo do muro é a mesma, então: \(\frac{0,3}{y}=cos \theta y=\frac{0,3}{cos \theta}\) \(\frac{3}{x}=sen \theta x=\frac{3}{sen \theta}\) logo, o tamanho da escada é: \(x+y=\frac{3}{sen \theta}+\frac{0,3}{cos \theta}\) \(x+y=\frac{3 cos \theta + 0,3 sen \theta}{sen \theta.cos \theta}\) |
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| Autor: | Baltuilhe [ 07 mar 2016, 23:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Boa tarde! Jorge... só faltou achar o tamanho da menor escada....  Abraços! |
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| Autor: | jorgeluis [ 08 mar 2016, 02:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Baltuilhe, não sei calcular valor máximo e mínimo através de derivada, você pode ajudar o jurexjurex ? Abraço meu amigo! |
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| Autor: | Baltuilhe [ 08 mar 2016, 12:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Bom dia! Aproveitando sua função, realizo a derivada em função do ângulo theta. E, para encontrar os pontos críticos (candidatos a máximo ou mínimo), igualo a derivada a zero. Então: \(f(\theta)=\frac{3}{\sin{\theta}}+\frac{0,3}{\cos{\theta}} f'(\theta)=-\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}} f'(\theta)=0 -\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}+\frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}=0 \frac{0,3\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{3\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \frac{\sin^3{\theta}}{\cos^3{\theta}}=\frac{3}{0,3} \tan{\theta}=\sqrt[3]{10} \theta\approx{65,1+180k}\) Analisando o sinal da função derivada, vemos que para valores menores que 65,1, ou seja, à esquerda deste ponto, temos f'<0 e, para valores maiores que 65,1, ou seja, à direita deste ponto, f'>0. Então, este é um ponto de MÍNIMO. Portanto, para um ângulo de 65,1 graus temos o menor tamanho possível da escada. Calculando o tamanho da escada: \(f(65,1)=\frac{3}{\sin{65,1}}+\frac{0,3}{\cos{65,1}} f(65,1)=4,02m\) Espero ter ajudado! |
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| Autor: | Sobolev [ 08 mar 2016, 14:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Uma alternativa, sem funções trigonométricas. Se imaginarmos um referencial x0y em que a escada está encostada à parte positiva do eixo dos yy e pousada na parte positiva dos eixo dos xx, a escada faz parte da recta de equação \(y-3 = m(x-0.3)\). O comprimento da escada é neste caso dado por \(c(m)=\sqrt{\left(\frac{3}{10}-\frac{3}{m}\right)^2+\left(3-\frac{3 m}{10}\right)^2}\) Facilmente vemos que esta função é convexa no intervalo relevante dos declives, e que o único ponto crítico é \(m= -\sqrt[3]{10}\). Assim esse ponto é um minimizante global e o comprimento mínimo da escada é dado por \(\sqrt{\left(3+\frac{3}{10^{2/3}}\right)^2+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{\sqrt[3]{10 }}\right)^2} \approx 4.01998\) |
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| Autor: | Baltuilhe [ 13 mar 2016, 03:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Sobolev Escreveu: Uma alternativa, sem funções trigonométricas. Se imaginarmos um referencial x0y em que a escada está encostada à parte positiva do eixo dos yy e pousada na parte positiva dos eixo dos xx, a escada faz parte da recta de equação \(y-3 = m(x-0.3)\). O comprimento da escada é neste caso dado por \(c(m)=\sqrt{\left(\frac{3}{10}-\frac{3}{m}\right)^2+\left(3-\frac{3 m}{10}\right)^2}\) Facilmente vemos que esta função é convexa no intervalo relevante dos declives, e que o único ponto crítico é \(m= -\sqrt[3]{10}\). Assim esse ponto é um minimizante global e o comprimento mínimo da escada é dado por \(\sqrt{\left(3+\frac{3}{10^{2/3}}\right)^2+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{\sqrt[3]{10 }}\right)^2} \approx 4.01998\) Sobolev, boa noite! Poderia explicar um pouco mais detalhadamente o processo que usou? Não consegui entender onde estaria o zero dos eixos na sua ideia. Tentei pelo zero no pé do muro mas acho que não cheguei na mesma equação do comprimento da escada. Também não entendi o motivo do ponto de mínimo. Agradeço! Abraços! |
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| Autor: | Sobolev [ 14 mar 2016, 10:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Máximos e Mínimos - Derivada] |
Bom dia, A "minha" escada está exactamente ao contrário da da figura (sobe-se a escada da direita para a esquerda). A parede de tijolo é o eixo dos yy e o chão é o eixo dos xx. O ponto de contacto da escada com a cerca é o ponto (0.3, 3). |
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