Fórum de Matemática
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Bom dia.
Estou resolvendo alguns exercícios de derivadas, e tem 2 exercícios que não tenho a menor ideia de como resolver, os exercícios são:




Agradeço a ajuda.

Vejamos o primeiro... Basta seguir a dica.

\(\left(\frac{f(x)}{e^{\alpha x}}\right)' = \frac{f'(x) e^{\alpha x}- \alpha e^{\alpha x} f(x)}{(e^{\alpha x})^2} = \frac{\alpha f(x) e^{\alpha x} - \alpha e^{\alpha x} f(x)}{(e^{\alpha x})^2} = 0\)

Ora, se uma função derivável tem derivada nula num conjunto conexo (como é o caso de R), a função é constante nesse intervalo. Assim, existe uma constante k tal que

\(\frac{f(x)}{e^{\alpha x}} = k \Leftrightarrow f(x)= k e^{\alpha x}\)

e o segundo... Basta derivar e colocar tudo em termos de g (ou f).

\(\left( (f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 \right)' = 2 (f'(x)-\cos x)(f(x)-\sin x) + 2(g'(x)+\sin x)(g(x)-\cos x)=
2(g(x)-\cos x)(-g'(x)-\sin x) + 2(g'(x)+\sin x)(g(x)-\cos x) = 2(-g(x)g'(x)+\cos x g'(x)-g(x) \sin x +\cos x \sin x+g'(x)g(x)-\cos x g'(x)+\sin x g(x)- \sin x \cos x) = 0\)

Deste modo vemos que

\((f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 = K\)

no entanto, como f(0)=0 e g(0)=1, temos que

\((f(0)-\sin 0)^2 + (g(0)- \cos 0)^2=K \Rightarrow K = 0\)

o que conduz ao resultado pretendido.

A alínea b) é consequência directa de a). A soma de dois termos não negativos apenas pode ser nula se ambos os termos forem nulos. Concretamente,

\((f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 = 0 \Rightarrow (f(x)-\sin x)^2 = 0 \wedge (g(x)-\cos x)^2 = 0 \Rightarrow f(x)=\sin x \wedge g(x)=\cos x\).