Fórum de Matemática
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Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2m/seg.
f.1) Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento?
f.2) Um homem está parado sobre a escada e no instante em questão ele se encontra a 8m do solo. Com que velocidade vertical estará se aproximando do solo neste momento?

Tomemos com instante inicial o momento em que a base da escada se encontra na vertical. A partir desse momento, a posição da base da escada é dada por \(x(t) = 2t\). Já a posição do ponto onde a escada contacta com a parede é dada por \(y(t)= \sqrt{13^2-x(t)^2} = \sqrt{169-4t^2}\), pelo que temos também

\(y'(t)=\frac{-4t}{\sqrt{169-4t^2}}\)

f1) A base da escada está a 5m da parede quando \(t = \frac 52\), pelo que a velocidade pedida é \(y'(\frac 52) =-\frac 56 \approx -0.8333 m/s\)

consegue prosseguir?

O primeiro item está OK. Está de acordo com o gabarito que tenho. Agora o segundo item é que estou realmente com dúvida.O gabarito do segundo item é 5/9 m/s.Acho que está errado.VC poderia resolver o segundo item também?

Em que ponto da escada está o homem? no ponto mais alto? Se for esse o caso, a escada está a 8m de altura quando \(t = \frac{\sqrt{105}}{2}\).Nesse instante temos que
\(y'(\frac{\sqrt{105}}{2}) = -\frac{\sqrt{105}}{4} \approx -2.56174 m/s\).

Um ponto intermédio da escada é da forma

\((\lambda x(t), (1-\lambda)y(t)), \quad \lambda \in [0,1]\)

e pode calcular a velocidade vertical de modo fácil.

Pelo que eu entendi o homem não está no topo.Estaria subindo a escada quando ela começou a escorregar. Até então a escada estava a 5m da parede e com o topo a 12 m do solo (por Pitágoras). O homem estaria no ponto de coordenadas (5/3 , 8)( segundo meus cálculos , utilizando semelhança de triângulos), ou seja, a 5/3 m de distancia da parede e a 8m do solo. A velocidade vertical para cada ponto da escada é diferente neste instante. No topo vimos que é de -5/6, e nesse ponto (5/3, 8) seria qual? O gabarito diz que é -5/9 mas eu não consegui chegar nesse valor!

O ponto (5/3, 8) está localizado a 1/3 do comprimento da escada (nesse instante). Assim, pode usar a fórmula que referi antes com \(\lambda = \frac 13\). A velocidade vertical é dada por

\((1-\frac 13) y'(5/2)=\frac 23 \times (-\frac 56) =-\frac{10}{18} = -\frac 59 m/s\).

Muito obrigado pela resposta.