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Pessoal, estou com uma questão que não consigo entender bem a resolução, até entendo os conceitos que determinam o porque da função ser crescente (derivada positiva) e ao contrário quando for negativa, mas eu gostaria de saber uma parte da questão de maneira detalhada, coisa que no livro não tem. Então gostaria que alguém resolvesse ela bem explicadinha se fosse possível e mostrando todos os cálculos feitos.
Ai vai ela:

Determine os intervalos em que a função f(x)= 2x³+3x²-12x-7 é crescente e decrescente.



A parte da resolução que não consigo entender é a seguinte: "sabemos que f(x) pode mudar de sinal apensa em x = 1 e x = -2, portanto, o sinal da derivada deve permanecer constante nos intervalos x< -2, -2 <x<1 e x>1. Em cada um desses intervalos, escolhemos um número de teste c e determinamos o sinal de f'(x) em todo o intervalo determinando o sinal de f'(c). "

o livro faz os números de teste com (-3 , 0 , 2).

Boa noite!

Função original:
\(f(x)=2x^3+3x^2-12x-7\)

A derivada entrega a inclinação da reta tangente a uma curva em cada ponto. Portanto, se a derivada for positiva significa que a função é crescente, negativa, decrescente, igual a zero, ou é um ponto de máximo ou um ponto de mínimo (nem crescente, nem decrescente).
Derivando:
\(f'(x)=6x^2+6x-12
f'(x)=0
6x^2+6x-12=0
x^2+x-2=0
\Delta=(1)^2-4(1)(-2)=1+8=9
x=\frac{-(1)\pm\sqrt{9}}{2(1)}
x=\frac{-1\pm{3}}{2}
x'=\frac{-1-3}{2}=-2
x''=\frac{-1+3}{2}=1\)

Então, veja que sendo as raízes -2 e 1, e a função derivada é uma parábola, seus sinais são:
\(x<-2\to f'(x)>0\text{ funcao crescente}
x=-2\to f'(x)=0\text{ ponto de maximo}
-2<x<1\to f'(x)<0\text{ funcao decrescente}
x=1\to f'(x)=0\text{ ponto de minimo}
x>1\to f'(x)>0\text{ funcao crescente}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Apenas relativamente à escolha de pontos em cada intervalo para determinar o sinal... Como f ' é neste caso uma função contínua, ela não pode mudar de sinal sem se anular. Assim, f ', tal como qualquer função contínua, não vai mudar de sinal em cada intervalo determinado pelas raizes. Ora, se f ' tem sempre o mesmo sinal num intervalo, basta calcular num ponto qualquer para saber que sinal é esse.

Muito obrigado pessoal \o