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| Demonstre o seguinte Teorema (Teorema do valor Médio de Lagrange) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=11036 |
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| Autor: | Gonsalves [ 04 mai 2016, 03:41 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstre o seguinte Teorema (Teorema do valor Médio de Lagrange) |
Boa noite, pessoal. Estou com dificuldades para resolver essa questão e preciso muito da ajuda de vocês: Demonstre o seguinte teorema: (Teorema do valor Médio de Lagrange) Seja \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) contínua. Se f é derivável em \((a,b)\) existe \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=\left [ f(b)-f(a) \right ]/(b-a)\). Aguardo retorno de vocês. Agradeço antecipadamente. Gonsalves |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 04 mai 2016, 16:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstre o seguinte Teorema (Teorema do valor Médio de Lagrange) |
Seja \(\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) e \(g(x)=f(x)-\lambda x\) Desta forma temos que: \(g(b)-g(a)=f(b)-\lambda b-f(a)+\lambda a=f(b)-f(a)-\lambda (b-a)=0\) (Substituiu-se \(\lambda\)) Sabemos que: \(g'(x)=f'(x)-\lambda\) E se aplicarmos o Teorema de Rolle à função g, que satisfaz g(b)=g(a), para concluir que existe um \(c\in ]a,b[\) tal que: \(g'(c)=0\), ou seja, \(f'(c)-\lambda =0\Rightarrow f'(c)=\lambda \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) |
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