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| Encontrar a e b pela derivada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=1188 |
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| Autor: | ramosdanr [ 08 dez 2012, 15:53 ] |
| Título da Pergunta: | Encontrar a e b pela derivada |
Gostaria de saber como resolver esse exercício, que meu professor de cálculo colocou na prova. Eu fiz mas está errado. Encontre \(a\) e \(b\) na função \(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\), sabendo que\(f'(1) = 0\) e \(f(1) = 1\). Grato. |
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| Autor: | danjr5 [ 08 dez 2012, 20:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a e b pela derivada |
Ramosdanr, seja bem-vindo! CONDIÇÃO I: \(f(1) = 1\) \(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\) \(f(1) = \sqrt{a + b + 4}\) \(1 = \sqrt{a + b + 4}\) \(1^2 = (\sqrt{a + b + 4})^2\) \(1 = a + b + 4\) \(\fbox{a + b = - 3}\) CONDIÇÃO II: \(f'(1) = 0\) \(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\) \(f'(x) = \left (a + b + 4 \right )^{\frac{1}{2}}\) \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left (a + b + 4 \right )^{- \frac{1}{2}} \cdot \left ( 2ax + b \right )\) \(f'(x) = \frac{2ax + b}{2\sqrt{ax^2 + bx + 4}}\) \(f'(1) = \frac{2a + b}{2\sqrt{a + b + 4}}\) \(0 = \frac{2a + b}{2\sqrt{a + b + 4}}\) \(\fbox{2a + b = 0}\) Por fim, encontre \(a\) e \(b\) resolvendo o sistema abaixo: \(\begin{cases} a + b = - 3 \\ 2a + b = 0 \end{cases}\) Comente qualquer dúvida! Daniel F. |
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| Autor: | ramosdanr [ 08 dez 2012, 22:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a e b pela derivada |
Cara, muuuuuito obrigado! Desculpa tirar seu tempo pra resolver isso. Minha resposta deu a = 1 e b = -4. Mas o professor falou que estava errada. Resolvendo seu sistema deu a mesma coisa, então ou eu não estou sabendo resolver o sistema ou ele está errado. Grato. |
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| Autor: | danjr5 [ 08 dez 2012, 23:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a e b pela derivada |
Caro Ramosdanr, certamente cometeu algum lapso, pois resolvendo o sistema temos \(\fbox{a = 3}\) e \(\fbox{b = - 6}\), veja: Da segunda equação do sistema... \(\\ 2a + b = 0 \\\\ b = - 2a\) Substituindo-a na primeira equação, encontramos \(a\) \(\\ a + b = - 3 \\\\ a + (- 2a) = - 3 \\\\ a - 2a = - 3 \\\\ - a = - 3 \\\\ \fbox{\fbox{a = 3}}\) Substituindo... \(\\ b = - 2a \\\\ b = - 2 \cdot 3 \\\\ \fbox{\fbox{b = - 6}}\) Seria interessante postar como resolveu esse sistema! Até breve. |
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| Autor: | ramosdanr [ 09 dez 2012, 02:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a e b pela derivada |
Está correto. Eu resolvi errado. Provavelmente eu resolvi tentando chegar no resultado que havia colocado na prova, e é claro, de tanto insistir eu achei uma maneira incorreta pra chegar nesse resultado. Reavendo o que aconteceu, eu errei na derivada, fiz assim, já multiplicando o 1/2 antes de inverter. \(f'(x) = (ax^2 + bx + 4)^-1/2 / 2 . (2ax + b)\) Aí ficou assim: \(f'(x) = \frac{2} {ax^2 + bx + 4)^{1/2} } . (2ax + b)\) \(f'(x) = \frac{2 . (2ax + b)} {ax^2 + bx + 4)^{1/2} }\) |
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| Autor: | danjr5 [ 09 dez 2012, 16:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar a e b pela derivada |
ramosdanr Escreveu: ... Provavelmente eu resolvi tentando chegar no resultado que havia colocado na prova, e é claro, de tanto insistir eu achei uma maneira incorreta pra chegar nesse resultado. Tem razão! Obs. LaTeX: - quando o expoente apresentar mais de um dígito, coloque-o entre {}: Código: [tex]^{- \frac{1}{2}}[/tex] Até logo. Daniel F. |
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