aplicação de derivadas xxx calculo derivada

[kanchinha123]

Boa tarde pessoal, nao estou conseguindo resolver esta questão, tenho a resposta da mesma no gabarito, porém queira entender os cálculos dela.
1)A RESISTENCIA DE UMA VIGA RETANGULAR É DIRETAMENTE PROPORCIONAL AO PRODUTO DE SUA LARGURA PELO QUADRADO DE ALTURA DA SEÇÃO TRANSVERSA . DETERMINE AS DIMENSÕES DA VIGA MAIS RESISTENTE QUE PODE SER CORTADA DE UM TORO CILINDRICO DE RAIO A , CONFORME DEMONSTRADO NA FIGURA ABAIXO
Y = ALTURA
X= LARGURA
: resposta DA QUESTÃO = largura =( (2 SOBRE RAIZ DE 3 ) VEZES A )
ALTURA = ((DOIS VEZES RAIZ DE DOIS SOBRE RAIZ DE TRES) VEZES A )

FIGURA: https://uploaddeimagens.com.br/images/0 ... 1496246258
Pessoal, dou 10 pontos, preciso muito entender essa questão, por favor.

[danko71]

Olá, kanchinha:

\((1)\ A^2=x^2+y^2\) é a equação do círculo;

\((2)\ R=x.y^2\) é, de acordo com o enunciado, a resistência da viga, onde x é a metade de sua largura (L) e y é a metade de sua altura (H).

Cálculo da largura (L)
De (2), \(y^2=\frac{R}{x}\rightarrow (1)\Rightarrow A^2=x^2+\frac{R}{x}\Rightarrow R=A^2x-x^3\)

Fazendo \(\frac{dR}{dx}=0\) para obtermos a máxima largura da viga, teremos:

\(A^2-3x^2=0\Rightarrow A^2=3x^2\Rightarrow x^2=\frac{A^2}{3}\Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt3}\). Como x é a metade da largura L, então \(L = \frac{2}{\sqrt3}A\)

Cálculo da altura (H)
\(Substituindo x=\frac{A}{\sqrt3}\ em\ (1),\ vem:\\A^2=\frac{A^2}{3}+y^2==>3A^2=A^2+3y^2==>3y^2=2A^2==>y^2=\frac{2}{3}A^2==>y=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}A\)
Como y é a metade da altura H, então \(H=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}A\)