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MensagemEnviado: 26 nov 2017, 21:14 
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Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiro pedaço faz-se um quadrado, com o segundo, um círculo. Como a corda deve ser cortada para que a área total (quadrado + círculo) seja máxima? E para que seja mínima?

Bem consegui chegar que a corda seria cortada no ponto \((pi*L)/(4+pi)\), e que esse seria o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado seria L - (isso ali), mas não sei se isso representa um valor máximo ou mínimo, ou como continuar a partir dai, qualquer ajuda é bem-vinda, desde já agradeço.


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MensagemEnviado: 27 nov 2017, 03:29 
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Boa noite!

Corda tamanho 'L'.
Tamanho 'x' vira uma circunferência.
Tamanho 'L-x' vira um quadrado.
Qual o valor de 'x' para área total MÁXIMA e área total MÍNIMA?

Área da circunferência:
\(C=x
2\pi\cdot R=x
R=\dfrac{x}{2\pi}
A_c=\pi\cdot R^2
A_c=\pi\cdot\left(\dfrac{x}{2\pi}\right)^2
A_c=\dfrac{x^2}{4\pi}\)

Área do quadrado (P = perímetro, l = lado do quadrado)
\(P=L-x
4l=L-x
l=\dfrac{L-x}{4}
A_q=l^2
A_q=\left(\dfrac{L-x}{4}\right)^2
A_q=\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16}\)

A soma das duas áreas é a função procurada. Temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo:
\(A_t=A_c+A_q
A_t=\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16}
A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L-x\right)^2}{16\pi}
A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L^2-2Lx+x^2\right)}{16\pi}
A_t=\dfrac{\left(4+\pi\right)x^2-2\pi\cdot Lx+\pi\cdot L^2}{16\pi}\)

Para obter os pontos desejados, temos que derivar a função.
\(A_t'=\dfrac{2\left(4+\pi\right)x-2\pi\cdot L}{16\pi}=0
x=\dfrac{\pi\cdot L}{4+\pi}\)

Pela análise da derivada segunda podemos determinar se é ponto de máximo ou mínimo:
\(A_t''=\dfrac{4+\pi}{8\pi}>0\) Sendo positivo, ponto de MÍNIMO.

Para saber qual a maior área teremos que comparar para o mesmo perímetro se a área á maior para o quadrado ou para a circunferência.
Para o quadrado:
\(A_t=\left(\dfrac{L}{4}\right)^2
A_t=\dfrac{L^2}{16}\)

Para a circunferência:
\(C=2\pi R=L
R=\dfrac{L}{2\pi}
A_t=\pi\cdot\left(\dfrac{L}{2\pi}\right)^2
A_t=\pi\cdot\dfrac{L^2}{4\pi^2}
A_t=\dfrac{L^2}{4\pi}\)

A maior área será onde \(L^2\) for dividido pelo menor valor. No caso, \(4\pi<16\), então, a maior área é a da circunferência :)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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MensagemEnviado: 27 nov 2017, 03:32 
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rafilsx,
fazendo uma relação de igualdade entre o diâmetro do círculo circunscrito ao quadrado e a diagonal desse quadrado, para que tenhamos uma única variável:
\(2r=d
d=l\sqrt{2}
logo,
r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\)

assim,
comprimento total da corda L:
(soma do perímetro do quadrado com o comprimento da circunferência)
\(L=4l+2\pi.r\)
sendo
\(r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\)
entao,
\(L=l(4+\pi\sqrt{2})\)

a função que expressa a soma das áreas do quadrado e do círculo é:
\(f(l/r)=l^2+\pi.r^2
sendo
r=\frac{l\sqrt{2}}{2}
entao,
\left ( \frac{L}{4} \right )^2=f(l)
f(l)=\frac{l^2(2+\pi)}{2}\)

como,
\(l\in \mathbb{Z}_{+}^{*}\)
e o comprimento de L não foi definido, então,
na maximização da área definida pela corda:
\(\lim_{l \to +\infty } \frac{l^2(2+\pi)}{2}=+\infty\)

conclusão:
a corda será cortada no ponto definido pelo lado do quadrado ou do raio do círculo, a partir da função da soma de suas áreas ou da soma de seus comprimentos.

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


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