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Otimização envolvendo área do quadrado e círculo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=13420 |
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Autor: | rafilsx [ 26 nov 2017, 21:14 ] |
Título da Pergunta: | Otimização envolvendo área do quadrado e círculo [resolvida] |
Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiro pedaço faz-se um quadrado, com o segundo, um círculo. Como a corda deve ser cortada para que a área total (quadrado + círculo) seja máxima? E para que seja mínima? Bem consegui chegar que a corda seria cortada no ponto \((pi*L)/(4+pi)\), e que esse seria o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado seria L - (isso ali), mas não sei se isso representa um valor máximo ou mínimo, ou como continuar a partir dai, qualquer ajuda é bem-vinda, desde já agradeço. |
Autor: | Baltuilhe [ 27 nov 2017, 03:29 ] |
Título da Pergunta: | Re: Otimização envolvendo área do quadrado e círculo |
Boa noite! Corda tamanho 'L'. Tamanho 'x' vira uma circunferência. Tamanho 'L-x' vira um quadrado. Qual o valor de 'x' para área total MÁXIMA e área total MÍNIMA? Área da circunferência: \(C=x 2\pi\cdot R=x R=\dfrac{x}{2\pi} A_c=\pi\cdot R^2 A_c=\pi\cdot\left(\dfrac{x}{2\pi}\right)^2 A_c=\dfrac{x^2}{4\pi}\) Área do quadrado (P = perímetro, l = lado do quadrado) \(P=L-x 4l=L-x l=\dfrac{L-x}{4} A_q=l^2 A_q=\left(\dfrac{L-x}{4}\right)^2 A_q=\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16}\) A soma das duas áreas é a função procurada. Temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo: \(A_t=A_c+A_q A_t=\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16} A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L-x\right)^2}{16\pi} A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L^2-2Lx+x^2\right)}{16\pi} A_t=\dfrac{\left(4+\pi\right)x^2-2\pi\cdot Lx+\pi\cdot L^2}{16\pi}\) Para obter os pontos desejados, temos que derivar a função. \(A_t'=\dfrac{2\left(4+\pi\right)x-2\pi\cdot L}{16\pi}=0 x=\dfrac{\pi\cdot L}{4+\pi}\) Pela análise da derivada segunda podemos determinar se é ponto de máximo ou mínimo: \(A_t''=\dfrac{4+\pi}{8\pi}>0\) Sendo positivo, ponto de MÍNIMO. Para saber qual a maior área teremos que comparar para o mesmo perímetro se a área á maior para o quadrado ou para a circunferência. Para o quadrado: \(A_t=\left(\dfrac{L}{4}\right)^2 A_t=\dfrac{L^2}{16}\) Para a circunferência: \(C=2\pi R=L R=\dfrac{L}{2\pi} A_t=\pi\cdot\left(\dfrac{L}{2\pi}\right)^2 A_t=\pi\cdot\dfrac{L^2}{4\pi^2} A_t=\dfrac{L^2}{4\pi}\) A maior área será onde \(L^2\) for dividido pelo menor valor. No caso, \(4\pi<16\), então, a maior área é a da circunferência Espero ter ajudado! |
Autor: | jorgeluis [ 27 nov 2017, 03:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Otimização envolvendo área do quadrado e círculo |
rafilsx, fazendo uma relação de igualdade entre o diâmetro do círculo circunscrito ao quadrado e a diagonal desse quadrado, para que tenhamos uma única variável: \(2r=d d=l\sqrt{2} logo, r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\) assim, comprimento total da corda L: (soma do perímetro do quadrado com o comprimento da circunferência) \(L=4l+2\pi.r\) sendo \(r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\) entao, \(L=l(4+\pi\sqrt{2})\) a função que expressa a soma das áreas do quadrado e do círculo é: \(f(l/r)=l^2+\pi.r^2 sendo r=\frac{l\sqrt{2}}{2} entao, \left ( \frac{L}{4} \right )^2=f(l) f(l)=\frac{l^2(2+\pi)}{2}\) como, \(l\in \mathbb{Z}_{+}^{*}\) e o comprimento de L não foi definido, então, na maximização da área definida pela corda: \(\lim_{l \to +\infty } \frac{l^2(2+\pi)}{2}=+\infty\) conclusão: a corda será cortada no ponto definido pelo lado do quadrado ou do raio do círculo, a partir da função da soma de suas áreas ou da soma de seus comprimentos. |
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