Boa noite!
Corda tamanho 'L'.
Tamanho 'x' vira uma circunferência.
Tamanho 'L-x' vira um quadrado.
Qual o valor de 'x' para área total MÁXIMA e área total MÍNIMA?
Área da circunferência:
\(C=x
2\pi\cdot R=x
R=\dfrac{x}{2\pi}
A_c=\pi\cdot R^2
A_c=\pi\cdot\left(\dfrac{x}{2\pi}\right)^2
A_c=\dfrac{x^2}{4\pi}\)
Área do quadrado (P = perímetro, l = lado do quadrado)
\(P=L-x
4l=L-x
l=\dfrac{L-x}{4}
A_q=l^2
A_q=\left(\dfrac{L-x}{4}\right)^2
A_q=\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16}\)
A soma das duas áreas é a função procurada. Temos que encontrar os pontos de máximo e mínimo:
\(A_t=A_c+A_q
A_t=\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{\left(L-x\right)^2}{16}
A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L-x\right)^2}{16\pi}
A_t=\dfrac{4x^2+\pi\cdot\left(L^2-2Lx+x^2\right)}{16\pi}
A_t=\dfrac{\left(4+\pi\right)x^2-2\pi\cdot Lx+\pi\cdot L^2}{16\pi}\)
Para obter os pontos desejados, temos que derivar a função.
\(A_t'=\dfrac{2\left(4+\pi\right)x-2\pi\cdot L}{16\pi}=0
x=\dfrac{\pi\cdot L}{4+\pi}\)
Pela análise da derivada segunda podemos determinar se é ponto de máximo ou mínimo:
\(A_t''=\dfrac{4+\pi}{8\pi}>0\) Sendo positivo, ponto de MÍNIMO.
Para saber qual a maior área teremos que comparar para o mesmo perímetro se a área á maior para o quadrado ou para a circunferência.
Para o quadrado:
\(A_t=\left(\dfrac{L}{4}\right)^2
A_t=\dfrac{L^2}{16}\)
Para a circunferência:
\(C=2\pi R=L
R=\dfrac{L}{2\pi}
A_t=\pi\cdot\left(\dfrac{L}{2\pi}\right)^2
A_t=\pi\cdot\dfrac{L^2}{4\pi^2}
A_t=\dfrac{L^2}{4\pi}\)
A maior área será onde \(L^2\) for dividido pelo menor valor. No caso, \(4\pi<16\), então, a maior área é a da circunferência
Espero ter ajudado!