Use a definição de derivada para encontrar f'(x) das seguintes funções:

[darthvini]

a) \(f(x)=x \sqrt{x+1}\)


b) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}\)

[danjr5]

a)

\(\mathbf{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)\sqrt{(x + h) + 1} - x\sqrt{x + 1}}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)\sqrt{(x + h) + 1} - x\sqrt{x + 1}}{h} \cdot \frac{(x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1}}{(x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1}}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2[(x + h) + 1] - x^2(x + 1)}{h \cdot \left [ (x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1} \right ]}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) \cdot (x + h + 1) - x^3 - x^2}{h \cdot \left [ (x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1} \right ]}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2h + 2x^2h + 2xh^2 + 2xh + xh^2 + h^3 + h}{h \cdot \left [ (x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1} \right ]}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot \left ( x^2 + 2x^2 + 2xh + 2x + xh + h^2 \right )}{h \cdot \left [ (x + h)\sqrt{(x + h) + 1} + x\sqrt{x + 1} \right ]}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \frac{3x^2 + 2x}{x\sqrt{x + 1} + x\sqrt{x + 1}}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \frac{(3x + 2)x}{2x\sqrt{x + 1}}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow \ f'(x) = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x + 1}}}\)

[danjr5]

b)

\(\mathbf{f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h)^2 - 4}{(x + h) + 2} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{[(x + h) + 2][(x + h) - 2]}{(x + h) + 2} - \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2}}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h + 2)(x + h - 2)}{x + h + 2} - \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2}}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h - 2) - (x - 2)}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x + h - 2 - x + 2}{h}}\)

\(\mathbf{\Rightarrow f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h}}\)

\(\boxed{\mathbf{\Rightarrow f'(x) = 1}}\)

Editado pela última vez por danjr5 em 18 Oct 2020, 13:27, num total de 1 vez.
Razão: Corrigir LaTeX

[darthvini]

Perfeito, mestre!

Muitíssimo grato.

[danjr5]

Não há de quê, meu caro!