como calcular esta derivada desta função

[aluno20000]

Boas,

Alguém me pode dizer como é que se calcula esta derivada (9+x)/(9-x^2)^1/2 ?
O resultado é (2x^2+27x+9)/(9-x^2)^1/2

Obrigado!

[Baltuilhe]

Bom dia!

\(\left[\dfrac{9+x}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}}\right]'=\dfrac{\left(9+x\right)'\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\right]'}{\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\right]^2}
\dfrac{1\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{1}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}-1}\cdot\left(9-x^2\right)'\right]}{9-x^2}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{1}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{-\dfrac{1}{2}}\cdot\left(-2x\right)\right]}{9-x^2}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{x\cdot\left(9+x\right)}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}}}{9-x^2}
\dfrac{9-x^2+9x+x^2}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}
\fbox{\dfrac{9\cdot\left(1+x\right)}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}}\)

É o que tenho pra hoje

A resposta está realmente certa? Verifique a função, também, se está grafada corretamente. Eu testei no wolframalpha e estava correta a resposta.

Espero ter ajudado!

[aluno20000]

Olá Baltuilhe,
Muito obrigado pela tua ajuda mas eu enganei-me. A função é (9+x)/(9-x^2)^3/2 e o resultado é (2x^2+27x+9)/(9-x^2)^5/2. É para calcular a derivada desta função.
Peço desculpa pelo meu engano (já não é a primeira vez que passo mal o enunciado )

Eu cheguei a ( (9-x^2)^3/2 + 3x(9+x)(9-x^2)^1/2 ) / ((9-x^2)^3) mas não consigo fazer o resto...

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Tentando seguir a forma como fiz será que não consegue chegar no resultado?
Dá mais uma 'tentada'. Qualquer coisa, poste novo tópico que a gente 'tenta'

Espero ter ajudado!

[aluno20000]

Boa tarde!

Tentando seguir a forma como fiz será que não consegue chegar no resultado?
Dá mais uma 'tentada'. Qualquer coisa, poste novo tópico que a gente 'tenta'

Espero ter ajudado!

Olá Baltuilhe,

Não estou a conseguir fazer. Eu cheguei a ( (9-x^2)^3/2 + 3x(9+x)(9-x^2)^1/2 ) / ((9-x^2)^3) e acho que é preciso por alguma coisa em evidencia para cortar com o denominador e chegar à solução pretendida, mas não estou a ver o que é...
Quando puderes podias-me explicar como é que se faz?
Obrigado

[Baltuilhe]

Bom dia!

Vamos tentar fazer, então!
\(\left[\dfrac{9+x}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}\right]'=\dfrac{\left(9+x\right)'\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}\right]'}{\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}\right]^2}
\dfrac{1\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{3}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}-1}\cdot\left(9-x^2\right)'\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{3}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(-2x\right)\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}+3x\cdot\left(9+x\right)\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\cdot\left[9-x^2+3x\cdot\left(9+x\right)\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{9-x^2+27x+3x^2}{\left(9-x^2\right)^{3-\dfrac{1}{2}}}
\fbox{\dfrac{2x^2+27x+9}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{5}{2}}}}\)

Ufa!

Espero ter ajudado!

[aluno20000]

Bom dia!

Vamos tentar fazer, então!
\(\left[\dfrac{9+x}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}\right]'=\dfrac{\left(9+x\right)'\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}\right]'}{\left[\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}\right]^2}
\dfrac{1\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{3}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}-1}\cdot\left(9-x^2\right)'\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}-\left(9+x\right)\cdot\left[\dfrac{3}{2}\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(-2x\right)\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}+3x\cdot\left(9+x\right)\cdot\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\cdot\left[9-x^2+3x\cdot\left(9+x\right)\right]}{\left(9-x^2\right)^3}
\dfrac{9-x^2+27x+3x^2}{\left(9-x^2\right)^{3-\dfrac{1}{2}}}
\fbox{\dfrac{2x^2+27x+9}{\left(9-x^2\right)^{\dfrac{5}{2}}}}\)

Ufa!

Espero ter ajudado!

Já percebi. Muito obrigado pela tua ajuda Baltuilhe.
Não tinha visto que era para pôr o (9-x^2)^1/2 em evidência e assim não estava a conseguir chegar ao resultado...
Agora que vi a tua resolução lembrei-me que há outra maneira de fazer: no denominador fica (9-x^2)^3 = (9-x^2)^1/2^6 = (9-x^2)^1/2 * (9-x^2)^5/2 e assim podemos cortar o denominador com o nominador (corta-se o (9-x^2)^1/2)