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Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L.

Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima?


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MensagemEnviado: 05 mar 2018, 18:31 
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Vamos determinar, inicialmente, a altura \(h\) em função do raio \(r\). Para isto usaremos o volume dado do cilindro.

\(V = 1000L = 1 m^3 = \pi r^2 h \Leftrightarrow h = \frac{1}{\pi r^2 }\).

Vamos supor que se usará material para a base, para a lateral e para a tampa da caixa.
Suponhamos também, que a tampa tenha a mesma medida da base,por simplicidade.

A área total \(A_T\) será a soma de 2 áreas da base com a área lateral:

\(A_T = 2 \times \pi \cdot r^2 + 2 \pi rh\)

Substituindo o \(h\) e fazendo as contas, teremos:

\(A_T = 2 \times \pi \cdot r^2 + \frac{2}{r}\)

Vamos derivar esta última expressão e igualar a 0 para encontrarmos o(s) ponto(s) crítico(s):

\(A'_T = 4 \pi \cdot r - \frac{2}{r^2}\)


Para \(A'_T = 0\) teremos \({4 \pi r^3 = 2}\)


Então: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \simeq 0,542 m\) (esse é um ponto de máximo ou de mínimo? Por quê?)

Substituindo na expressão de \(h\) encontrará \(h \simeq 1,084 m\)

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