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Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=13651 |
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Autor: | caiofix [ 02 mar 2018, 18:30 ] |
Título da Pergunta: | Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja... |
Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja lançar um novo tanque em formato cilíndrico no mercado. Então pediu-se à equipe de desenvolvimento que preparasse uma proposta de projeto com capacidade de 1000L. Como a equipe pode determinar a medida do raio da base e da altura do reservatório de modo que a quantidade de material utilizada para sua fabricação seja mínima? |
Autor: | Fraol [ 05 mar 2018, 18:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Uma empresa fabricante de caixas d’água deseja... |
Vamos determinar, inicialmente, a altura \(h\) em função do raio \(r\). Para isto usaremos o volume dado do cilindro. \(V = 1000L = 1 m^3 = \pi r^2 h \Leftrightarrow h = \frac{1}{\pi r^2 }\). Vamos supor que se usará material para a base, para a lateral e para a tampa da caixa. Suponhamos também, que a tampa tenha a mesma medida da base,por simplicidade. A área total \(A_T\) será a soma de 2 áreas da base com a área lateral: \(A_T = 2 \times \pi \cdot r^2 + 2 \pi rh\) Substituindo o \(h\) e fazendo as contas, teremos: \(A_T = 2 \times \pi \cdot r^2 + \frac{2}{r}\) Vamos derivar esta última expressão e igualar a 0 para encontrarmos o(s) ponto(s) crítico(s): \(A'_T = 4 \pi \cdot r - \frac{2}{r^2}\) Para \(A'_T = 0\) teremos \({4 \pi r^3 = 2}\) Então: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \simeq 0,542 m\) (esse é um ponto de máximo ou de mínimo? Por quê?) Substituindo na expressão de \(h\) encontrará \(h \simeq 1,084 m\) |
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