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Ponto de tangência à curva https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=13707 |
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Autor: | petras [ 24 mar 2018, 16:49 ] |
Título da Pergunta: | Ponto de tangência à curva |
Encontrar o ponto de contato da tangente à curva y=√(x^2-2x+9), perpendicular à reta y/3-x/5+9/7=0 |
Autor: | João P. Ferreira [ 25 mar 2018, 19:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ponto de tangência à curva |
refere-se a \(y=\sqrt{x^2-2x+9}\) ? Uma reta é dada por \(y=ax+b\) em que \(a\) é a inclinação da reta e \(b\) a ordenada na origem a função derivada de uma função que represente uma curva indica a inclinação da reta tangente a essa mesma curva, assim sendo, derivando \(y'=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+9}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}\) esta função derivada indica, em cada ponto, a inclinação da reta tangente da função \(y(x)\) Sendo \(m\) uma determinada inclinação, a sua inclinação perpendicular é dada por \(-\frac{1}{m}\) então, a inclinação perpendicular à função definida por \(y'\) é dada por \(-\frac{\sqrt{x^2-2x+9}}{x-1}\) basta agora achar a inclinação da reta \(y/3-x/5+9/7=0\) ou seja colocando na forma \(y=ax+b\), sendo \(a\) a inclinação, e depois, igualar esse \(a\) à equação anterior |
Autor: | petras [ 25 mar 2018, 19:37 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ponto de tangência à curva |
Grato João, tentei por essa forma mais a igualdade não encontra raízes reais. Creio que há algum erro no enunciado |
Autor: | João P. Ferreira [ 26 mar 2018, 20:24 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ponto de tangência à curva |
Olá Petras \(y/3-x/5+9/7=0\) corresponde a \(y/3=x/5-9/7\) \(y=3/5.x-27/7\) ou seja, \(a=3/5\) então \(-\frac{\sqrt{x^2-2x+9}}{x-1}=\frac{3}{5}\) repare que para resolver esta equação não tem de achar as raízes do polinómio, basta resolver achando o quadrado dos dois lados visto que se \(a=b\) logo \(a^2=b^2\) logo \(-\frac{\sqrt{x^2-2x+9}}{x-1}=\frac{3}{5}\) \(\left(-\frac{\sqrt{x^2-2x+9}}{x-1}\right)^2=\left(\frac{3}{5}\right)^2\) \(\frac{x^2-2x+9}{(x-1)^2}=\frac{9}{25}\) \(25(x^2-2x+9)=9(x^2-2x+1)\) agora é fácil |
Autor: | petras [ 26 mar 2018, 20:35 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ponto de tangência à curva |
Como lhe disse anteriormente a função que se chega não tem raízes, por isso, desconfiei que o enunciado deveria estar errado. A equação da reta correta seria y/3-x+9/7. Veja se está correta a resolução. \(\mathsf{\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\rightarrow f=\sqrt{u},\:\:u=x^2-2x+9\\ \frac{d}{du}(\sqrt{u})\cdot \frac{d}{dx}(x^2-2x+9)}\) \(\mathsf{ \frac{d}{du}(\sqrt{u})=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ \frac{d}{dx}=2x-2\\ \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2x-2)~substituindo ~u~\rightarrow \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+9)}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}}\) Como a tangente é perpendicular à reta \(\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0}\) sua declividade deverá ser \(-\frac{1}{m}\) \(\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0\rightarrow y=3x+\frac{27}{7} \rightarrow m=3\rightarrow m_{\perp}=-\frac{1}{3}}\) Igualando: \(\mathsf{\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}=-\frac{1}{3}\rightarrow x=0}\) \(\mathsf{\therefore y = \sqrt{x^2-2x+9}=\sqrt{0-0+9}=3}\) Ponto = (0,3) |
Autor: | João P. Ferreira [ 28 mar 2018, 19:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Ponto de tangência à curva |
Parece-me tudo bem, mas a partir desta parte \(\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}=-\frac{1}{3}\) tem de achar o \(x\), ou seja \(3(x-1)=-\sqrt{x^2-2x+9}\) achando o quadrado dos dois lados, considerando que \((-\sqrt{u})^2=u\) \(9(x-1)^2=x^2-2x+9\) \(9(x^2-2x+1)=x^2-2x+9\) \(9x^2-18x+9=x^2-2x+9\) \(9x^2-18x=x^2-2x\) \(x(9x-18)=x(x-2)\) \(x=0\) ou \(9x-18=x-2\) |
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