Demonstrar o Cálculo da Derivada da Função Logistica

[LMartins]

Dada a função f(x) = 1 / (1+ e^x), calcule a derivada e demonstre que f'(x) = f(x) * (1 - f(x)).
Começando pela regra do quociente só consigo chegar até f'(x) = f(x) * (e^x / 1 + e^x) não vejo como continuar.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Função logística (veja que tem uma pequena diferença em relação à função que passou...:
\(f(x) = \dfrac{ 1 }{ 1 + e^{-x} }\)

Derivando:
\(f'(x) = \dfrac{ (1)' \cdot \left( 1 + e^{-x} \right) - 1 \cdot \left( 1 + e^{-x} \right)' }{ \left( 1 + e^{-x} \right)^2 }
f'(x) = \dfrac{ -(-e^{-x}) }{ \left( 1 + e^{-x} \right)^2 }
f'(x) = \dfrac{ e^{-x} + 1 - 1 }{ \left( 1 + e^{-x} \right)^2 }
f'(x) = \dfrac{ 1 + e^{-x} }{ \left( 1 + e^{-x} \right)^2 } - \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + e^e^{-x} + 1 \right)^2 }
f'(x) = \dfrac{ 1 }{ 1 + e^{-x} } - \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + e^{-x} \right)^2 }
f'(x) = f(x) - f(x)^2
f'(x) = f(x) \cdot \left( 1 - f(x) \right)\)

Espero ter ajudado!