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 Título da Pergunta: Uma extremidade de uma escada...
MensagemEnviado: 27 abr 2019, 16:31 
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GV.84/9. Uma extremidade de uma escada apoia-se num muro perpendicular ao plano onde está a outra extremidade. O pé da escada é afastado da parede à razão de 3 cm/min. Pergunta-se:
a) com que rapidez desce o topo da escada quando o pé está a 14 cm da parede?
b) quando o pé e o topo se movem com igual rapidez?
c) quando desce o topo à razão de 4 cm/min?


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MensagemEnviado: 04 mai 2019, 22:23 
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Uma resposta às três questões vai depender do comprimento da escada que não é dado.
Sejam \(x(t)\) a distância em cm da base da escada à base do muro e \(y(t)\) a distância em cm do topo da escada à base do muro tudo em função do tempo \(t\) em minutos.
Temos que \(x^2(t)+y^2(t)=L^2\) onde \(L\) é o comprimento da escada.
Derivando em ordem a \(t\) ficamos com a equação \(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0\). Logo a velocidade de descida (vai ser negativa) do topo da escada vai ser dada por \(y'(t)=-\frac{x(t)x'(t)}{y(t)}=-\frac{3x(t)}{\sqrt{L^2-x^2(t)}}\) pois é nos dito que \(x'(t)=3\).
a) \(y'(t)=-\frac{42)}{\sqrt{L^2-14^2}}\).
b) quando \(x=y=\frac{L\sqrt{2}}{2}\).
c) quando \(\frac{3x(t)}{\sqrt{L^2-x^2(t)}} = 4 \Rightarrow x(t)=\frac{4L}{5}\).


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