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| Uma extremidade de uma escada... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=14157 |
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| Autor: | danko71 [ 27 abr 2019, 16:31 ] |
| Título da Pergunta: | Uma extremidade de uma escada... |
GV.84/9. Uma extremidade de uma escada apoia-se num muro perpendicular ao plano onde está a outra extremidade. O pé da escada é afastado da parede à razão de 3 cm/min. Pergunta-se: a) com que rapidez desce o topo da escada quando o pé está a 14 cm da parede? b) quando o pé e o topo se movem com igual rapidez? c) quando desce o topo à razão de 4 cm/min? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 mai 2019, 22:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Uma extremidade de uma escada... |
Uma resposta às três questões vai depender do comprimento da escada que não é dado. Sejam \(x(t)\) a distância em cm da base da escada à base do muro e \(y(t)\) a distância em cm do topo da escada à base do muro tudo em função do tempo \(t\) em minutos. Temos que \(x^2(t)+y^2(t)=L^2\) onde \(L\) é o comprimento da escada. Derivando em ordem a \(t\) ficamos com a equação \(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0\). Logo a velocidade de descida (vai ser negativa) do topo da escada vai ser dada por \(y'(t)=-\frac{x(t)x'(t)}{y(t)}=-\frac{3x(t)}{\sqrt{L^2-x^2(t)}}\) pois é nos dito que \(x'(t)=3\). a) \(y'(t)=-\frac{42)}{\sqrt{L^2-14^2}}\). b) quando \(x=y=\frac{L\sqrt{2}}{2}\). c) quando \(\frac{3x(t)}{\sqrt{L^2-x^2(t)}} = 4 \Rightarrow x(t)=\frac{4L}{5}\). |
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