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Achar o diferencial total da função: \(u= arcsen\sqrt{\frac{xz}{y}}\)

1º calculei a derivada em função de x: \(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{zy}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}\)

2º calcul ei a derivada em função de y: \(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{xz}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}\)

3º calculei a derivada em função de z: \(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{xy}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}\)

substituindo na fórmula: \(\partial u=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\)

e obtive o resultado final: \(\partial u=\frac{zy}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}+\frac{xz}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}+\frac{xy}{{2y^{2}}\sqrt{\frac{xz}{y}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}}\)

Gostaria que analisassem se o resultado está correcto, infelizmente sinto-me muito inseguro quando resolvo algum exercício!

Caro Nataniel

A resolução para o \(x\) está correcta, ora veja vou resolver aqui apenas para o \(x\)

Relembro-lhe a fórmula para a derivada do \(arcsen(x)\)

\((arcsen(u))'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)

A fórmula para a derivada da raíz é

\((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

______________

Ora então meu caro, vamos resolver \(\frac{\partial u}{\partial x}\)

Sendo \(u=arcsen(\sqrt{\frac{xz}{y}})\)

Vamos derivar primeiro a raíz que está dentro do arcsen

\(\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{\frac{xz}{y}})=\frac{\frac{z}{y}}{2\sqrt{\frac{xz}{y}}}=\frac{1}{2\frac{y}{z}\sqrt{\frac{xz}{y}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y^2}{z^2}\frac{xz}{y}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{yx}{z}}\)

Vamos agora então derivar o arcsin, ou seja vamos resolver:

\(\frac{\partial}{\partial x}(arcsen(\sqrt{\frac{xz}{y}})=\frac{\frac{1}{2\sqrt{\frac{yx}{z}}}} {\sqrt{1-(\sqrt{\frac{xz}{y}})^2}}=\frac{1} {2\sqrt{\frac{yx}{z}}\sqrt{1-\frac{xz}{y}}}\)

Esta conta pode ser simplificada, e é igual ao que apresentou para o \(x\)

Assim sendo para o \(x\) está correcto

Relembro-lhe que a fórmula que tem para o diferencial total aparenta não estar correcta, sendo a correcta a seguinte:

\(du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz\)

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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