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| [Derivabilidade] ... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=1856 |
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| Autor: | santhiago [ 21 fev 2013, 22:20 ] |
| Título da Pergunta: | [Derivabilidade] ... [resolvida] |
Teorema : i) " Derivabilidade implica continuidade ,o recíproco deste teorema não é verdadeiro ". Segue a dúvida : Se as derivadas laterais existam em \(x = p\) e são iguais ,f é derivável em x = p sobre hipótese de f ser descontínua em x = p ? Não seria uma contradição caso a resposta for sim ? Pois ,se f é derivável em x = p então f é contínua em x = p . |
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| Autor: | Sobolev [ 21 fev 2013, 22:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Derivabilidade] ... |
Não sei se percebi a sua dúvida... Mas o recíproco do teorema seria "Continuidade implica derivabilidade" O que, tal como é apontado, é falso. |
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| Autor: | santhiago [ 21 fev 2013, 23:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Derivabilidade] ... |
Boa noite . Se f é uma função que não é contínua em p , mas definida em p . Isto é , existe \(f(p) = k\) para p e k reais , mas os limites laterais diferem quando \(x \to p\) , \(\nexists \lim_{x\to p} f(x)\) (não existe \lim_{x\to p} f(x) ) . Minha dúvida : Se existe as derivas laterais em x = p e são iguais , \(f'_{-} (p) = f'_{+} (p) = L\) (para algum L real ) Então , \(f\) é derivável em x = p ? Se a resposta for sim ,isto é , f é derivável em\(x = p\) não seria uma contradição ? Pois, se f é derivável em x = p ,então f é contínua em p que é um absurdo pois por hipótese f é descontínua em p . Espero que ficou claro .Qualquer dúvida posso postar um exemplo de uma função com tal propriedade para exemplificar. Desde já agradeço . |
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| Autor: | Sobolev [ 21 fev 2013, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Derivabilidade] ... |
A situação que descreve não é possível... Suponha que existe a derivada à direita. Nesse caso, \(\lim_{x \to p^{+}} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} < \infty\) Ora, isto implica que \(\lim_{x \to p^{+}} (f(x) -f(p)) = 0\) já que de outro modo o primeiro limite não poderia ser finito. Concluímos então que f tem que ser contínua à direita. Do mesmo modo conluiriamos que f deve ser contínua à esquerda e por isso continua no ponto p. |
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| Autor: | santhiago [ 22 fev 2013, 03:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Derivabilidade] ... |
OK, obrigado . |
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