Fórum de Matemática
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Ache a derivada de x^2/3 pela definição de limite... já tentei inúmeras vezes e não consigo, sempre dá o mesmo resultado mas não chega em (2/3)x^-1/3.

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=...\)

deixe-me pensar que não estou a ver...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Já tentei assim e não deu certo... me disseram que era para fazer algo com diferença de cubos pra eliminar os radicais... mas não consegui.

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2})\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2}=...\)

lembre-se que \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)

acho que é isto se as contas não me falham

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João Pimentel Ferreira
 
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Agora tudo faz sentido... muito obrigado, eu cheguei a fazer algo aproximado a isso mas não pensei desse modo.

foi vc que me deu a dica qaundo falou da diferença de cubos

um abraço

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