Não sei em que contexto está a fazer esta pergunta, se num contexto de disciplina de Cálculo (1º ano de engenharia) ou num contexto mais avançado (
e.g.: análise não-standard, álgebra diferencial, teoria de operadores).
No contexto do cálculo, o operador diferencial \(\frac{d}{dx}\) é definido sobre as funções diferenciáveis através da expressão:
\(\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
Quando se fala em "divisão entre uma variação infinitesimal de \(f\) por uma variação infinitesimal de \(x\)", está na verdade a falar do limite da divisão da variação finita de \(f\) (concretamente \(\Delta f=f(x+h)-f(x)\)) pela respetiva variação de \(x\) (dada por \(\Delta x=h\)) quando o \(h\) tende para zero. No contexto dos números reais não existem infinitésimos (
i.e. números infinitamente pequenos) mas é útil (por razões históricas e não só) pensar em infinitésimos (que só foram definidos de forma rigorosa por
Abraham Robison na sua
análise não-standard).
Resumindo, o operador \(\frac{d}{dx}\) pega numa função diferenciável \(f\) e devolve a função \(\frac{d}{dx}f\) que, por definição, toma como valor \(\left(\frac{d}{dx}f\right)(x)\) no ponto \(x\) a "divisão entre uma variação infinitesimal de \(f\) por uma variação infinitesimal de \(x\)", ou seja, \(\left(\frac{d}{dx}f\right)(x):=\frac{df}{dx}(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).
Concluindo, na minha opinião não há nada a mostrar porque se trata basicamente da forma como os conceito dados são definidos. (Isto no contexto do cálculo em \(\mathbb{R}\)).
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