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Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=3159 |
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Autor: | amadeu [ 20 jul 2013, 16:08 ] |
Título da Pergunta: | Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical |
Olá pessoal ! Segue mais uma questão: __ Qual a derivada da seguinte função ? \(f(x)=\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}\) Segundo julgo saber, a fórmula a aplicar é:\(\,\,\,y^,=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,\) ou, esta outra:\(\,\,\,y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,\) Como no radicando temos um quociente, e é necessário aplicar a derivada deste na fórmula,\((u^,)\) temos que a encontrar. Para tal usamos a fórmula da derivada para este fim: \(y^,=\frac{v.u^,-u.v^,}{v^2}\). Se: \(\,\,\,y=\frac{3}{x^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^,=-\frac{6}{x^3}\,\,\,\) depois, aplicamo-la no devido lugar em uma das fórmulas dadas acima, e desenvolvemos toda a fórmula até chegar à solução final. A questão é que o manual de onde tirei o problema apresenta como solução: \(f^,(x) =-\frac{2\sqrt[5]3}{5}.x^{-\frac{7}{5}\) Eu, depois de dar voltas à tóla, a tentar desenvolver o problema não consegui chegar aquele resultado. Será que o mesmo está errado ? Ou me faltam conhecimentos de alguns artifícios matemáticos para chegar até ele ? Gostaria que alguém resolvesse o problema até á simplificação máxima, para verificação. Grato: amadeu |
Autor: | Mauro [ 20 jul 2013, 18:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical |
amadeu Escreveu: Olá pessoal ! Segue mais uma questão: __ Qual a derivada da seguinte função ? \(f(x)=\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}\) Segundo julgo saber, a fórmula a aplicar é:\(\,\,\,y^,=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,\) ou, esta outra:\(\,\,\,y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,\) Como no radicando temos um quociente, e é necessário aplicar a derivada deste na fórmula,\((u^,)\) temos que a encontrar. Para tal usamos a fórmula da derivada para este fim: \(y^,=\frac{v.u^,-u.v^,}{v^2}\). Se: \(\,\,\,y=\frac{3}{x^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^,=-\frac{6}{x^3}\,\,\,\) depois, aplicamo-la no devido lugar em uma das fórmulas dadas acima, e desenvolvemos toda a fórmula até chegar à solução final. A questão é que o manual de onde tirei o problema apresenta como solução: \(f^,(x) =-\frac{2\sqrt[5]3}{5}.x^{-\frac{7}{5}\) Eu, depois de dar voltas à tóla, a tentar desenvolver o problema não consegui chegar aquele resultado. Será que o mesmo está errado ? Ou me faltam conhecimentos de alguns artifícios matemáticos para chegar até ele ? Gostaria que alguém resolvesse o problema até á simplificação máxima, para verificação. Grato: amadeu Caro Amadeu, vou me aventurar, ok? Esperemos outros comentários críticos para enriquecimento de nosso forum. Eu faria um algebrismo antes: \(f(x)={\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{x ^{\frac{2}{3}}}\) Aplicando a regra do quociente, \(y^,=\frac{v.u^,-u.v'}{v^2}\) \(v=x^{\frac{2}{3}}\) \(u=3^{\frac{1}{3}}\) \(y'=\frac{x^{\frac{2}{3}}.0-3^{\frac{1}{3}}.{\frac{2}{3}^{-\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\) \(y'=-\frac{\frac{3^{\frac{1}{3}}}{{\frac{2}{3}^{\frac{1}{3}}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\) Se estou certo, não ajudei muito e acho que estou muito longe da resposta do manual; se estou errado, perdão pela perda de tempo de todos. Abração Mauro |
Autor: | Eli [ 22 jul 2013, 16:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical |
Não há necessidade da utilização da regra do quociente, uma vez que o numerador da fração é uma constante. 1. Escrevendo como potências. \(f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{x^2}} \Leftrightarrow f(x) = \frac{3^{1/3}}{x^{2/3}} \Leftrightarrow f(x) = 3^{1/3} . x^{-2/3}\) 2. Derivando. \(\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (3^{1/3} . {x^{-2/3}}) = 3^{1/3}.\frac{d}{dx} (x^{-2/3}) = 3^{1/3}. (\frac{-2}{3}) . x^{(-2/3)-1} = -\frac{2}{3}.3^{1/3} . x^{-5/3} \Leftrightarrow \frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3}}{3. \sqrt[3]{x^5}\) 3. Simplicando o resultado. \(\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3}}{3. \sqrt[3]{x^5}} = -\frac{2.\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{x}}{3. \sqrt[3]{x^5}.\sqrt[3]{x}} = -\frac{2.\sqrt[3]{3.x}}{3.x^2}\) 4. O resultado. \(\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3.x}}{3.x^2}\) Estou fortemente convencido de que seu manual não é confiável. |
Autor: | amadeu [ 24 jul 2013, 16:56 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical |
Oi, Eli. É. De facto o enunciado deve estar errado. Só pode. Resolvendo como\(\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}\), aí, já bate certo com a solução. Obrigado pelo empenho dispendido. Abraço! |
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