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| Autor: | Adelia [ 17 dez 2013, 01:56 ] |
| Título da Pergunta: | Calculo e problemas |
Olá Pessoal, podem me ajudar com o problema? De todos os retangulos inscritos num circulo de raio R, qual é o que possui o maior perímetro? |
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| Autor: | Davi Constant [ 17 dez 2013, 04:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo e problemas |
Bom, vamos lá... Seja \(\large ABCD\) um retângulo inscrito em uma circunferência de centro \(\large O\) e raio \(\large R\). Seja \(\large M\) o ponto médio de \(\large \bar{AB}\) e \(\large N\) o ponto médio de \(\large \bar{BC}\) e \(\large \theta\) o ângulo \(\large \widehat{BON}\). Temos, então, as seguintes relações imediatas: \(\large \bar{BM}=R\cos{\theta}\) \(\large \bar{BN}=R\sin{\theta}\) \(\large \bar{AB}=\bar{CD}=2R\cos{\theta}\) \(\large \bar{BC}=\bar{AD}=2R\sin{\theta}\) Vem que o perímetro é uma função do ângulo \(\large f(\theta)=2R\sin{\theta}+2R\cos{\theta}\). Fazendo o teste da primeira derivada, conseguiremos determinar qual ângulo produz um perímetro máximo. \(\large {f}'(\theta)=2R\cos{\theta}-2R\sin{\theta}\rightarrow 2R\cos{\theta}-2R\sin{\theta}=0\rightarrow\theta=\frac{\pi}{4}\) *Sabendo que \(\large 0< \theta<\frac{\pi}{2}\). Daí concluímos que o perímetro máximo ocorre para \(\large \theta=\frac{\pi}{4}\), caracterizando um quadrado. Espero ter ajudado, Qualquer dúvida sinalize. |
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