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| Teorema Lagrange (Valor Medio) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=4690 |
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| Autor: | hsmofm [ 31 dez 2013, 12:02 ] |
| Título da Pergunta: | Teorema Lagrange (Valor Medio) |
Bom Dia, Como posso resolver este exercício: Prove que Log(1+x) - log(x) < 1/x Eu sei que se utilizar o teorema do valor medio: (c'= f(b)-f(a))/(b-a) mas para isso preciso racionalizar e não sei como... alguém me pode ajudar? Obrigado |
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| Autor: | santhiago [ 31 dez 2013, 17:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Teorema Lagrange (Valor Medio) [resolvida] |
Boa tarde . Comece a definir \(f: (0,+\infty) \mapsto \mathbb{R} ; f(x) = log(x)\) .Observe que esta função satisfaz as condições necessárias do Teorema de Lagrange , para cada \(x > 0\) fixado \(f\) é contínua em \([x,x+1]\) e diferenciável em \((x,x+1)\) pelo que existe \(c\) neste intervalo aberto tal que \(f'(c) = (f(x+1) - f(x))/(x+1 -x) = f(x+1) - f(x)\) . Além disso note que se \(x+1 > c > x\) então \(\frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}\) . |
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