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| teorema de Lagrange ou valor médio https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=4770 |
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| Autor: | hsmofm [ 12 jan 2014, 12:48 ] |
| Título da Pergunta: | teorema de Lagrange ou valor médio |
\(0<x<y\) Prove \(1-(x/y) < log(y/x) < (y/x) - 1\) Penso que será para utilizar o teorema valor medio mas estou um pouco perdido... |
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| Autor: | Sobolev [ 13 jan 2014, 12:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
Uma ajuda... Se designar \(w = y/x\), terá \(w \in ]1 , +\infty[\). Aplicando o teorema do valor médio à função logaritmo no intervalo [1,w] terá \(\frac{\log w - \log 1}{w - 1} = \frac{1}{w^*}, \quad w^* \in ]1,w[\) ora, como \(1/w^* < 1\), teremos \(\frac{\log w}{w-1} < 1 \Leftrightarrow \log w < w-1 \Leftrightarrow \log(y/x) < (y/x)-1\) Isto demonstra uma das desigualdades. |
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| Autor: | hsmofm [ 13 jan 2014, 15:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
Boa tarde, Mesmo assim não entendi... será que fui claro no enunciado: \(0 < x < y\) Provar que a função: \((1 - \frac{b}{y}) < (\log \frac{y}{x}) < (\frac{y}{x}-1)\) obrigado... |
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| Autor: | Sobolev [ 13 jan 2014, 15:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
Sim, foi claro no enunciado... Quando quer aplicar o teorema do valor médio tem que decidir duas coisas: i. Qual a função à qual aplicar o teorema; ii. Qual o intervalo que vai considerar. Neste caso vamos utilizar a função \(f(w)=\log w\), no intervalo \([1, y/x]\). Assim, o teorema do valor médio garante que existe pelo menos um ponto \(w^* \in ] 1, y/x[\) tal que \(\frac{f(y/x)-f(1)}{(y(x)-1} = f'(w^*)\) isto é, \(\frac{\log(y/x)-\log1 }{(y/x)-1} = \frac{1}{w^*}\) Agora, tendo em conta que \(w^* >1\), vemos que \(\frac{1}{w^*}<1\), pelo que \(\frac{\log(y/x)-\log1 }{(y/x)-1} < 1 \quad \Leftrightarrow \log(y/x) < (y/x)-1\) |
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| Autor: | hsmofm [ 13 jan 2014, 20:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
porque o log(1) donde vem??? obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 13 jan 2014, 21:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
Quando aplicamos o Teo. de Lagrange a f no intervalo [a,b] o que concluímos que existe pelo menos um número \(c \in ]a,b[\) tal que \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\) No nosso caso, temos a = 1 e b = y/x, pelo que f(a) = f(1)=log(1)=0 e f(b)=f(y/x)=log(y/x). |
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| Autor: | hsmofm [ 13 jan 2014, 21:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio |
a minha questão é de onde vem o a=1????? |
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| Autor: | Sobolev [ 13 jan 2014, 22:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: teorema de Lagrange ou valor médio [resolvida] |
Temos que ser nós a escolher o que vai em cada caso desempenhar o papel de a, b e até da própria função f. Depende do que pretendemos demonstrar... Neste caso, como temos do lado direito da desigualdade o termo (y/x) - 1, vemos que ao escolher a=1 e b = y/x, ficamos com um termo (b-a), que surge no teorema. Não existe um método bem delineado para fazer estas escolhas, nem elas são únicas. |
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