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Um retângulo está sendo expandido de tal forma que seu comprimento é sempre o dobro de sua altura. Sabendo que sua taxa de expansão do perímetro do retângulo é 3 cm/min, determine a taxa de variação de sua área quando esta é de 24 cm.

R: \(4\sqrt{2}\)

Parece_me que a resposta indicada não é a correcta. Designando por x(t) a altura do rectângulo no instante t, e usando a informação sobre a variação do perimetro, sabemos que

\((6 x(t) )' = 3 \Leftrightarrow x'(t)= 1/2\)

A área é dada por \(A(t)= (2 x(t)) x(t) = 2 (x(t))^2\), pelo que o valor de x(t) quando A(t) = 24 é \(\sqrt{\frac{24}{2}} = 2 \sqrt{3}\)

Calculando a derivada da área temos que

\(A'(t)= 2 \cdot 2 \cdot x'(t) x(t) = 2 x(t)\)

No instante t_0 em que A(t_0) = 24 temos

\(A'(t_0) = 2 x(t_0) = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\)