Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

As variáveis x e y estão relacionadas por esta função:
\(\sqrt{x^2 + y^2} = C.\arctan(y/x)\)

onde C é uma constante.
E assim é para encontrar uma expressão para \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)

Alguém sabe como proceder o exercício?

Lembrando que \(y=y(x)\) tente derivar ambos os membros da igualdade em ordem a x.
Terá termos em \(y'\). Depois tente isolá-los. Provavelmente fica com algo como
\(\frac{dy}{dx}= f(x,y)\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Como já referiu o caro Prof. José Sousa
pode derivar dos dois lados em ordem a \(x\), considerando \(y=y(x)\)

\(\sqrt{x^2 + y^2} = C.\arctan(y/x)\)

Derivando dos dois lados tem-se

\(\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)' = \left(C.\arctan(y/x)\right)'\)

Lembre-se das regras de derivação, assim

para a raiz temos que \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

e para o arcotangente tem-se \((arctg(u))'=\frac{u'}{1+u^2}\)

assim, aplicando à fórmula, tem-se

\(\frac{(x^2+y^2)'}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{C.(y/x)'}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

\(\frac{2x+2.y'.y}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{C.\frac{y'x-y}{x^2}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

Meu caro, agora é só desenvolver e colocar \(y'=\frac{dy}{dx}\) em evidência...

Volte sempre

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Continuando o excelente trabalho...
\(\frac{x+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{C(y'x-y)}{x^2+y^2}\)
\(x+y.y' = \frac{C(y'x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y.y' -\frac{Cy'x}{\sqrt{x^2+y^2}}= -x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y'(y -\frac{Cx}{\sqrt{x^2+y^2}})= -x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y'=\frac{-x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{y -\frac{Cx}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928