Prezados,
Estou tentando alcançar a equação 8, em anexo. Como usar a regra do quociente para o caso em que há mais de uma função no numerador? \(\frac{d[\frac{N(t)c(t)}{K(t)}]}{dt}\)
| Anexos: |
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| Diferenciação e regra do quociente https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=5892 |
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| Autor: | albersonmiranda [ 28 abr 2014, 17:39 ] | ||
| Título da Pergunta: | Diferenciação e regra do quociente | ||
Prezados, Estou tentando alcançar a equação 8, em anexo. Como usar a regra do quociente para o caso em que há mais de uma função no numerador? \(\frac{d[\frac{N(t)c(t)}{K(t)}]}{dt}\)
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| Autor: | Fraol [ 29 abr 2014, 00:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Boa noite, Sem entrar no mérito do assunto, até porque foge ao conhecimento, considero que se o termo é, pelo texto exibido, constante então sua derivada é 0 (nula). |
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| Autor: | albersonmiranda [ 30 abr 2014, 17:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Na verdade, o que é constante ali é a divisão entre \(K'(t)\) e \(K(t)\), como por exemplo se \(K(t)=e^{at}\) o que daria o resultado constante "a". Detalhando melhor a dúvida, (7) define que \(\frac{N(t)c(t)}{K(t)}+\frac{K'(t)}{K(t)}\) é igual ao termo constante \(\frac{\rho +\sigma k}{\beta }\). Ele diz que \(\frac{K'(t)}{K(t)}\) é constante, o que implica que o primeiro termo também tem de ser constante. E, aí que entra minha dúvida, o autor prova isso diferenciando \(\frac{N(t)c(t)}{K(t)}\), o que supostamente resulta em \(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{c'(t)}{c(t)}+\frac{n'(t)}{n(t)}\). Esse é realmente o resultado de \(\frac{d\frac{N(t)c(t)}{K(t)}}{dt}\)? |
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| Autor: | albersonmiranda [ 01 mai 2014, 23:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Consegui! \(f(t)=\frac{N(t)c(t)}{K(t)}\) \(f(t)=[N(t)c(t)]K(t)^{-1}\) Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia: \(f'(t)=[N(t)c(t)]'K(t)^{-1}+[N(t)c(t)][-K(t)^{-2}]K'(t)=0\) Novamente a regra do produto no primeiro termo em colchetes: \(f'(t)=[N(t)c'(t)+N'(t)c(t)]K(t)^{-1}+[N(t)c(t)][-K(t)^{-2}]K'(t)=0\) \(f'(t)=\frac{N(t)c'(t)+N'(t)c(t)}{K(t)}-\frac{N(t)c(t)K'(t)}{K(t)^{2}}=0\) \(\frac{N(t)c(t)K'(t)}{K(t)^2}=\frac{N(t)c'(t)K(t)+N'(t)c(t)K(t)}{K(t)^2}\) \(\frac{K'(t)N(t)c(t)}{K(t)}=N(t)c'(t)+N'(t)c(t)\) \(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{N(t)c'(t)}{N(t)c(t)}+\frac{N'(t)c(t)}{N(t)c(t)}\) \(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{c'(t)}{c(t)}+\frac{N'(t)}{N(t)}\) |
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| Autor: | albersonmiranda [ 01 mai 2014, 23:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Então, respondendo ao tópico, a regra de diferenciação para \(f(x)=\frac{g(x)h(x)}{u(x)}\) será \(f'(x)=\frac{g(x)h'(x)u(x)+g'(x)h(x)u(x)-g(x)h(x)u'(x)}{u(x)^2}\) |
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| Autor: | Fraol [ 03 mai 2014, 01:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Boa noite, Muito bom albersonmiranda. Só para confirmar: você igualou a zero a derivação pelo fato dos dois termos serem constantes, certo? |
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| Autor: | albersonmiranda [ 03 mai 2014, 02:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
Eu pensei em igualar à zero porque isso é parte da resolução de uma aplicação do Princípio do Máximo de Pontryagin, então maximizei. Mas se não for essa a causa, não sei qual é. Foi meio chute, infelizmente devo admitir! |
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| Autor: | Fraol [ 03 mai 2014, 02:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente |
É bem plausível que, como os dois termos são constantes, então não variam e por isso a derivada, que é a taxa de variação, é nula. Esse deve ser o motivo matemático. |
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| Autor: | albersonmiranda [ 03 mai 2014, 02:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Diferenciação e regra do quociente [resolvida] |
Ah! Agora, sim! Entendi, muito obrigado! |
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