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Encontre y', se y=y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
\(Arcsen(xy)=x+y\)

Eu derivei implicitamente a equação da seguinte forma:
1/raizquadrada(1-(xy)²)*xy'+y=1+y'
=> x/raizquadrada(1-(xy)²)*y'+y-y'=1
=>xy'-1-y'=raizquadrada(1-(xy)²)-y

Creio que fiz algo errado, pois o gabarito é y'=raizquadrada(1-(xy)²)-y/x-raizquadrada(1-x²y²) e a minha conta não chegaria a esse resultado. Onde foi o erro? obrigado.

Não calculou completamente as derivadas...

\(\arcsin(xy)=x+y \Rightarrow
\frac{(xy)'}{\sqrt{1-(xy)^2}} = (x+y)' \Rightarrow
\frac{y + xy'}{\sqrt{1-(xy)^2}} = 1+y'\Rightarrow
\left(1- \frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}\right) y'= \frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}-1\Rightarrow
y' = \frac{\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}-1}{1- \frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}} = \frac{y-\sqrt{1-(xy)^2}}{\sqrt{1-(xy)^2}-x}\)

que é equivalente ao resultado que refere.