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. Seja f(x) = arctan x. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=6052	Página 1 de 1

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Autor:	phelipegm [ 17 mai 2014, 21:53 ]
Título da Pergunta:	. Seja f(x) = arctan x.
(a) Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0; Boa noite, alguém poderia me ajudar ? Estou tentando fazer essa questão, porém minha resposta nunca coincide com o gabarito... Alguém por favor poderia me explicar detalhadamente como resolver essa questão ? Segundo o gabarito a resposta é: (a) arctan x = x - 1/3x³ + 1/5x5 - 1/7x7 Mas quando eu derivo arctan x... depois da segunda derivada, todos as derivadas seguintes terão x no numerador e no denominador, certo ? Logo daria 0 em todas as derivadas. Me ajudem, por favor!

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Autor:	Man Utd [ 18 mai 2014, 01:24 ]
Título da Pergunta:	Re: . Seja f(x) = arctan x.
Olá :D veja que : \((arc \; tg x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime }=-\frac{24x(x^2-1)}{(1+x^2)^4}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\frac{24(5x^4-10x^2+1)}{(1+x^2)^5}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=-\frac{240(3x^4-10x^2+3)}{(1+x^2)^6}\) \((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime}=\frac{720(7x^6-35x^4+21x^2-1)}{(1+x^2)^7}\) Então dá pra ver que não são todos que vão se anular...

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Autor:	phelipegm [ 18 mai 2014, 02:05 ]
Título da Pergunta:	Re: . Seja f(x) = arctan x.
Tem alguma coisa que não estou entendendo... Até a derivada segunda eu entendi. Mas a derivada terceira não seria 8x²/(1 + x²)³ ?

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Autor:	Man Utd [ 18 mai 2014, 14:47 ]
Título da Pergunta:	Re: . Seja f(x) = arctan x.
\((arc \; tg x )^{\prime \prime \prime}=-\frac{(2x)^{ \prime}*(1+x^2)^2-(2x)*((1+x^2)^2)^{ \prime}}{(1+x^2)^4}\) simplifique e verá o resultado.

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Autor:	santhiago [ 18 mai 2014, 15:48 ]
Título da Pergunta:	Re: . Seja f(x) = arctan x.  [resolvida]
Ou alternativamente ... Podemos escrever \(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt\) . Onde \(g(t) = \frac{1}{1+t}\) .Agora basta determinar a Série de Maclaurin desta função , fazendo isto obterá \(g(t) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\) e assim \(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt = \int_{0}^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) .

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Autor:	phelipegm [ 29 mai 2014, 03:18 ]
Título da Pergunta:	Re: . Seja f(x) = arctan x.
Entendi! Obrigado aos dois pela atenção e desculpem a demora para responder! Abraço!

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