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Suponha que a equacão xy = yx define implicitamente uma função y = f(x). Encontre
a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1; 1).

Olá :D


\(x^y=y^x\)

\(e^{y*\ln x}=e^{x*\ln y}\)


Derivando implicitamente:


\(e^{y*\ln x}*\left( y*\ln x \right)^{\prime}=e^{x*\ln y}*\left( x*\ln y \right)^{\prime}\)


\(e^{y*\ln x}*\left( y^{\prime}*\ln x+\frac{y}{x} \right)=e^{x*\ln y}*\left( \ln y+\frac{xy^{\prime}}{y} \right)\)


aplicando o ponto (1,1) :

\(e^{1*\ln 1}*\left( y^{\prime}*\ln 1+\frac{1}{1} \right)=e^{1*\ln 1}*\left( \ln 1+\frac{y^{\prime}}{1} \right)\)


\(y^{\prime}=1\)


Então a equação da reta tangente é:


\(y-1=1*(x-1)\)


\(\fbox{\fbox{\fbox{ y=x }}}\)