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| Derivada de uma função trigonométrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=6457 |
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| Autor: | Fernandobertolaccini [ 08 jul 2014, 00:53 ] |
| Título da Pergunta: | Derivada de uma função trigonométrica |
dê a derivada de : y= x-arctg[raiz(1-cosx/1+cosx)] Resp: y' = (1/2) |
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| Autor: | aisilva [ 09 jul 2014, 06:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Derivada de uma função trigonométrica [resolvida] |
Para resolver este exercícios é necessário conhecer as seguintes regras de derivação gerais: \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}\) \(u^{n}= n.u^{n - 1}.u'\) \(\left ( cosx \right )'=-senx\) \(\left ( arctg(u) \right )'=\frac{u'}{1+u^{2}}\) Também é necessário lembrar a fórmula fundamental da trigonometria: \(sen^{2}x+cos^{2}x=1\Leftrightarrow sen^{2}x=1-cos^{2}\) Tendo em conta estes dados, a resolução é a seguinte: \(\left [ x-arctg\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right ) \right ]'= x'-\left [arctg\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right ) \right ]'=1-\frac{\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )'}{1+\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )^{2}}= =1-\frac{[(\frac{1-cosx}{1+cosx})^{\frac{1}{2}}]'}{1+\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )^{2}}=1-\frac{[\frac{1}{2}(\frac{1-cosx}{1+cosx})'(\frac{1-cosx}{1+cosx})^{-\frac{1}{2}}]}{1+\frac{1-cosx}{1+cosx}}= =1-\frac{\frac{1}{2}\left [ \frac{(1-cosx)'(1+cosx)-(1-cosx)(1+cosx)'}{\left (1+cosx\right )^{2}} \right ](\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{\frac{1+cosx+1-cosx}{1+cosx}}= 1-\frac{\frac{1}{2}\left [ \frac{senx+senxcosx+senx-senxcosx } {\left (1+cosx\right )^{2}\right ](\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2}{1+cosx}}= =1-\frac{\frac{senx} {\left 2(1+cosx\right )^{2}} (\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{1+cosx}}=1-\frac{senx(\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{2(1+cosx)}=1-\frac{ senx(1+cosx)^{-\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}}=1-\frac{senx}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)^{\frac{1}{2}}}= =1-\frac{senx}{2[(1-cosx)(1+cosx)]^{\frac{1}{2}}}=1-\frac{senx}{2\sqrt{(1-cos^{2}x)}}=1-\frac{senx}{2\sqrt{sen^{2}x}}=1-\frac{senx}{2senx}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) |
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| Autor: | Walter R [ 19 jul 2014, 01:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Derivada de uma função trigonométrica |
Fernando, para esclarecer tua dúvida, note que na demonstração dada acima: \(\frac{senx\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}}{2(1-cosx)}=\frac{senx\left ( 1+cosx \right )^{\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)}=\frac{senx(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)^{\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)(1+cosx)}=\frac{senx(1-cos^2x)^{\frac{1}{2}}}{2(1-cos^2x)}=\frac{senx(sen^2x)^{\frac{1}{2}}}{2sen^2x}=\frac{sen^2x}{2sen^2x}=\frac{1}{2}\) |
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