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Considere um triângulo retângulo no primeiro quadrante limitado pelos eixos coordenados e pela reta que passa pelo ponto P(2,3).Encontre os vértices do triângulo de área máxima.


Resp: (0,0) , (4,0) e (0,6)

alguém sabe? Obrigado ;D

O exercício pode ser decomposto em vários passos:

1º Passo: escrever a equação reduzida de uma recta, ou seja, y= mx+b

2º Passo: escrever a fórmula da área de um triângulo, ou seja, \(A=\frac{base\times altura}{2}\)

3º Passo: fazer o desenho do triângulo pedido (genérico), e verificar que um dos vértices tem que ser o ponto (0,0), uma vez que é o ponto onde se intersectam os dois eixos.

4º Passo: verificar que o comprimento da base do triângulo corresponde ao ponto da recta onde esta intersecta o eixo dos xx' ou seja, é um ponto do tipo (x,0)

5º Passo: verificar que a altura do triângulo corresponde ao ponto da recta onde esta intersecta o eixo dos yy' ou seja, é um ponto do tipo (0,y)

6º Passo: substituir o ponto P na equação da recta e obter uma equação de b em função de m. Subtituindo o ponto, a equação fica 3=2m+b, o que, reorganizado fica b=3-2m. Para efeitos do triângulo o b corresponde à altura do mesmo.

7º passo: substituir na equação da recta o ponto (x,0) e obter x em função de b e m. Substituindo o ponto fica 0=mx+b, o que, reoganizado fica:

\(x=-\frac{b}{m}\Leftrightarrow x=-\frac{(3-2m)}{m}\)

Este x é o valor do comprimento da base do triângulo.

8º Passo: substituir os valores da base e da altura do triângulo na fórmula da Área, obtendo-se:

\([tex]A=\frac{-\frac{(3-2m)}{m}\times (3-2m)}{2}=-\frac{(3-2m)^{2}}{2m}\)
[/tex]

9º Passo: derivar a fórmula da área, obtendo-se:

\(A'=\frac{(-(3-2m^{2})')(2m)-(2m)'(-(3-2m)^{2})}{(2m)^{2}}=\frac{(-2)(-2)(3-2m)(2m)+2(3-2m)^{2}}{4m^{2}}=\frac{-4m^{2}+9}{2m^{2}}\)

10º Passo: encontrar a abcissa do ponto máximo da função, fazendo A'=0. Ao resolver a equação obtém-se m=3/2 ou m=-3/2. Apenas a 2ª solução é válida para este exercício, uma vez que o declive da recta tem que ser negativo, senão a figura formada não é um triângulo delimitado pelos eixos dos xx' e dos yy'.

11º Passo: perceber que este é o declive da recta que maximiza a área do triângulo e substituir o valor de m na equação da recta e em todas as equações em que este valor entrava. Obtém-se

b=6
equação da recta: \(y=-\frac{3}{2}x+6\)
Vértice de abcissa 0: (0,6)
Vértice de ordenada 0: (4,0)

Os vértices do triângulo com área máxima são então o (0,0), (0,6) e (4,0)