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| Verificar que é localmente invertível e determinar uma expressão para a inversa https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=7041 |
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| Autor: | ptf [ 03 Oct 2014, 21:36 ] |
| Título da Pergunta: | Verificar que é localmente invertível e determinar uma expressão para a inversa [resolvida] |
Considere a função \(f(x)=2x^2+3\) Verifique que f é (localmente) invertível em a=-1 e determine uma expressão analítica para essa inversa. Eu respondi assim: Para ser invertível em a=-1 \((f\circ f^{-1})(-1)=-1\) e \((f^{-1}\circ f)(-1)=-1\), certo? O problema é que calculando a inversa de f dá \(\pm \sqrt{\frac{x-3}{2}}\). Para calcular \(f^{-1}(-1)\) uso qual? A \(- \sqrt{\frac{x-3}{2}}\) ou a \(+ \sqrt{\frac{x-3}{2}}\) ? |
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| Autor: | Sobolev [ 06 Oct 2014, 10:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Verificar que é localmente invertível e determinar uma expressão para a inversa |
Para ser invertível em a=-1 a função deve ser injectiva. Como a derivada da função em causa apenas se anula em x=0, ela será invertível quando o domínio considerado for um sunconjunto de \(]-\infty, 0]\) ou de \([0, +\infty[\). Em particular ela será invertível numa vizinhança de -1. Relativamente à expressão da inversa, temos \(y = 2x^2+3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{y-3}{2}}\) No entanto, como o ponto em causa é negativo, devemos escolher o sinal negativo, pelo que temos \(f^{-1}: [3, +\infty[ \to ]-\infty, 0] x \mapsto -\sqrt{\frac{x-3}{2}}\) |
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