Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Pessoal, preciso da ajuda de vcs na seguinte questão:

Encontrar a derivada abaixo através de derivação implícita:
\((x^{2}+3y^{2})^{5}=2xy\)

Eu tentei fazer só que de resultado eu consegui \(\frac{2y-10x(x^{2}+3y^{2})^{4}}{6y-2x}\) e na resposta da questão fala que o resultado é \(\frac{2y-10x(x^{2}+3y^{2})^{4}}{30y(x^{2}+3y^{2})^{4}-2x}\)

Não entendi como o resultado pode ser esse, alguém pode mostrar o passo a passo de como resolver?

Faltam dados na sua questão... Desde logo é importante saber se está a considerar y definido implicitamente em termos de x, ou x definido implicitamente em termos de y. Além disso, o que é habitualmente possível é determinar a derivada num ponto específico... De qualquer modo o procedimento é simples: Se procura y como função implicita de x, deriva a equação em ordem a x e resolve em ordem a y'. Neste caso,
\((x^2+3y^2)^5 = 2xy \Rightarrow
5 (2x + 6 y')(x^2+3y^2)^4 = 2y + 2xy' \Rightarrow
(30(x^2+3y^2)^4-2x)y' = 2y-10x(x^2+3y^2)^4 \Rightarrow
y' = \frac{ 2y-10x(x^2+3y^2)^4}{30(x^2+3y^2)^4-2x}\)

Querendo determinar a y' num ponto específico é substituir x,y por valores adequados.

Amigo só consegui entender o que vc fez até o \(5 (2x + 6 y')(x^2+3y^2)^4 = 2y + 2xy'\) .Só tinha um \((x^2+3y^2)^4\) como que apareceu o outro? Teria como detalhar um pouco mais a partir dessa parte?