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Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 Milhas e situados nas margens opostas e um rio retilíneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construída sob a água, de A ate um ponto C na margem oposta, e o restante a superfície, de C até B. Se o custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfície e sabendo que a região onde está sendo construído o oleoduto não pertence à Bolívia (e, portanto não será invadida e tomada à força), determine a localização de C que minimize o custo de construção.

Se partir de A perpendicularmente à margem, chegará a um ponto D. Chamemos x à distância desde D até C. Temos assim que \(\bar{AD} = 1, \bar{AC} = \sqrt{1+x^2}, \bar{AB} = 2 \sqrt{2}\). O custo é então dado por:

\(C(x) = 4 \sqrt{1+x^2} + (2\sqrt{2}-x)\)

Tratando-se de uma função diferenciável no intervalo \([0, 2\sqrt{2}]\), que corresponde aos valores de x admissiveis para este problema, o seu minimizante global apenas poderá ocorrer nos extremos do intervalo ou num ponto do interior onde a derivada se anule.

\(C'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{4x}{\sqrt{1+x^2}}-1 =0 \Leftrightarrow 4x =\sqrt{1+x^2} \Rightarrow 16x^2 =\mathrm{1}+x^2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{15}}\)

Finalmente devemos comparar os valores da função nos extremos e no ponto crítico:

\(C(0)= 4 +2 \sqrt{2}, C(2\sqrt{2})= 12, C(1/\sqrt{15})=2 \sqrt{2}+\sqrt{15}\)

Concluímos pois que o mínimo será atingido se \(x=1/\sqrt{15}\).