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| Calculo de função que envolve derivada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=7237 |
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| Autor: | neoreload [ 29 Oct 2014, 10:11 ] |
| Título da Pergunta: | Calculo de função que envolve derivada |
Pessoal como resolver essa: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1L de óleo. Quais as dimensões da lata, de modo a minimizar o metal gasto na sua fabricação? Spoiler: Fiquei sem entender como resolver. Agradeço quem puder deixar o passo a passo. E só tem isso mesmo na questão, não passa mais nenhuma informação. Obrigado ^^ |
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| Autor: | Sobolev [ 29 Oct 2014, 15:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de função que envolve derivada |
Para definer o cilindro temos que conhecer o seu raio (r) e altura (h), sendo que, como o volume é unitário, deve ser verificada a relação \(\pi r^2 h = 1\), ou seja, \(h = \frac{1}{\pi r^2}\). Trata-se então de determinar qual o cilindro que minimiza a superfície do cilindro. \(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{1}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac 2r, \qquad r>0\) \(S'(r)=0 \Leftrightarrow 4 \pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3-2 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}}\) |
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| Autor: | neoreload [ 29 Oct 2014, 18:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de função que envolve derivada |
Sobolev Escreveu: Para definer o cilindro temos que conhecer o seu raio (r) e altura (h), sendo que, como o volume é unitário, deve ser verificada a relação \(\pi r^2 h = 1\), ou seja, \(h = \frac{1}{\pi r^2}\). Trata-se então de determinar qual o cilindro que minimiza a superfície do cilindro. \(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{1}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac 2r, \qquad r>0\) \(S'(r)=0 \Leftrightarrow 4 \pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3-2 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}}\) E a altura amigo ? |
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| Autor: | Sobolev [ 29 Oct 2014, 23:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de função que envolve derivada |
A altura pode ser calculada depois de conhecido o raio. \(h=1/(\pi r^2)= \cdots\) |
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| Autor: | neoreload [ 09 nov 2014, 06:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de função que envolve derivada |
Sobolev Escreveu: A altura pode ser calculada depois de conhecido o raio. \(h=1/(\pi r^2)= \cdots\) Obrigado amigo, entendi sim. Só fiquei em duvida novamente na parte de substituir, pq o valor encontrado para r foi \(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\), mas na formula do h tem r². No caso o r² daria \(\frac{1}{2\pi}^{\frac{2}{3}}\) e voltando pra raiz daria \(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }^{2}}\). Assim acabaria ficando diferente da resposta que é \(\frac{1}{\pi \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}}\), é assim mesmo ou estou errando algo? |
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