Ok, vou tentar então montar aqui algo de forma a que você entenda o processo. Dado esta construção:
Spoiler:
A forma de calcular o volume do sólido que se quer, que é apenas o que está a verde teremos de calcular conjuntamente o total (verde+azul) e retirar o volume do azul.
O método que iremos utilizar é o método dos cilindros, isto é, da mesma forma que se usa para a rotação em relação ao eixo x.
Por partes, peguemos primeiro no total (azul+verde), e peguemos uma secção para o qual tem \(x\in [-1;1]\) que se gera a partir da rotação em relação à reta y=2 e caracteriza-mos.
\(r=2-f(x)
A=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2
V_{Total}=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2 \: dx\)
Para o qual \(f(x)=x^4\)
Tendo o raio, a área é dada por \(\pi r^2\) e o volume é dado pela a \(A \times dx\), dx que é a altura/largura do cilindro, uma altura ínfima, muito pequena a tender para zero. Então o volume do sólido total será:
\(V_{Total}=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx\)
Mas aqui está tudo (azul+verde) e nós não queremos isso, queremos apenas o do verde. Para isso retira-se o azul, raciocinando da mesma forma. Para a parte azul:
\(r=1
A=\pi 1^2=\pi
V_a=\pi \: dx\)
Desta forma o volume do sólido pretendido é dado por:
\(V_v=V_{Total}-V_a
V_v=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx-\int_{-1}^{1}\pi \: dx=\fbox{\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 -\pi\: dx}\)
Bom, agora são só contas. Com certeza irá dar o resultado do gabarito. Qualquer dúvida só perguntar.