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Boa noite!
Vamos chamar as partes que serão cortadas do arame de 'a' (parte para o quadrado) e 'b' (parte para fazer a circunferência), respectivamente:
Temos, então, que:
\(a+b=10\text{cm}\)
Como 'a' será utilizado para o quadrado, dividiremos este valor por 4 para obtermos cada lado do quadrado.
Como 'b' será utilizado para a circunferência, para encontrarmos o raio, dividiremos por \(2\pi\).
Lado do quadrado:
\(l=\frac{a}{4}\)
Área do quadrado:
\(A_q=l^2=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{a^2}{16}\)
Raio da circunferência:
\(r=\frac{b}{2\pi}\)
Área da circunferência:
\(A_c=\pi r^2=\pi \left(\frac{b}{2\pi}\right)^2=\frac{b^2}{4\pi}\)
Para encontrarmos a área mínima vamos montar a função que é a soma das duas áreas obtidas. Como teremos que ter área mínima iremos investigar o valor da derivada primeira, para saber se é um ponto de máximo ou ponto de mínimo.
\(A_q+A_c=\frac{a^2}{16}+\frac{b^2}{4\pi}\)
\(a+b=10\\
a=10-b\)
Substituindo, teremos:
\(f(b)=\frac{(10-b)^2}{16}+\frac{b^2}{4\pi}\), derivando:
\(f'(b)=2\frac{10-b}{16}\cdot (10-b)'+\frac{2b}{4\pi}\\
f'(b)=\frac{10-b}{8}\cdot (-1)+\frac{b}{2\pi}\\
f'(b)=-\frac{10-b}{8}+\frac{b}{2\pi}\\
f'(b)=\frac{-\pi (10-b)+4b}{8\pi}\\
f'(b)=\frac{b(4+\pi)-10\pi}{8\pi}\)
Veja que a derivada é uma função crescente.
Agora igualando a derivada a zero encontramos um ponto crítico:
\(\frac{b(4+\pi)-10\pi}{8\pi}=0\\
b(4+\pi)-10\pi=0\\
b(4+\pi)=10\pi\\
b=\frac{10\pi}{4+\pi}\\
b\approx 4,40\)
Como a derivada é crescente, ela varia de negativo (onde a função seria decrescente) para positivo (onde a função será crescente) ao passar pelo ponto crítico encontrado. Portanto, este é um ponto de MÍNIMO.
A outra parte do arame valerá:
\(a=10-b\\
a=10-\frac{10\pi}{4+\pi}\\
a=\frac{10(4+\pi)-10\pi}{4+\pi}\\
a=\frac{40}{4+\pi}\\
a\approx 5,60\)
Espero ter ajudado!
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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
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