Anexo:
print do trabalho 1' 2.jpg [ 18.48 KiB | Visualizado 1568 vezes ]
| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Por gentileza, alguém poderia me auxiliar nessa resolução ? Desde já obrigado ! https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=8231 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | Dinho [ 15 mar 2015, 00:22 ] |
| Título da Pergunta: | Por gentileza, alguém poderia me auxiliar nessa resolução ? Desde já obrigado ! |
Anexo: print do trabalho 1' 2.jpg [ 18.48 KiB | Visualizado 1568 vezes ] |
|
| Autor: | Baltuilhe [ 15 mar 2015, 03:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por gentileza, alguém poderia me auxiliar nessa resolução ? Desde já obrigado ! [resolvida] |
Boa noite! Vamos chamar as partes que serão cortadas do arame de 'a' (parte para o quadrado) e 'b' (parte para fazer a circunferência), respectivamente: Temos, então, que: \(a+b=10\text{cm}\) Como 'a' será utilizado para o quadrado, dividiremos este valor por 4 para obtermos cada lado do quadrado. Como 'b' será utilizado para a circunferência, para encontrarmos o raio, dividiremos por \(2\pi\). Lado do quadrado: \(l=\frac{a}{4}\) Área do quadrado: \(A_q=l^2=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{a^2}{16}\) Raio da circunferência: \(r=\frac{b}{2\pi}\) Área da circunferência: \(A_c=\pi r^2=\pi \left(\frac{b}{2\pi}\right)^2=\frac{b^2}{4\pi}\) Para encontrarmos a área mínima vamos montar a função que é a soma das duas áreas obtidas. Como teremos que ter área mínima iremos investigar o valor da derivada primeira, para saber se é um ponto de máximo ou ponto de mínimo. \(A_q+A_c=\frac{a^2}{16}+\frac{b^2}{4\pi}\) \(a+b=10\\ a=10-b\) Substituindo, teremos: \(f(b)=\frac{(10-b)^2}{16}+\frac{b^2}{4\pi}\), derivando: \(f'(b)=2\frac{10-b}{16}\cdot (10-b)'+\frac{2b}{4\pi}\\ f'(b)=\frac{10-b}{8}\cdot (-1)+\frac{b}{2\pi}\\ f'(b)=-\frac{10-b}{8}+\frac{b}{2\pi}\\ f'(b)=\frac{-\pi (10-b)+4b}{8\pi}\\ f'(b)=\frac{b(4+\pi)-10\pi}{8\pi}\) Veja que a derivada é uma função crescente. Agora igualando a derivada a zero encontramos um ponto crítico: \(\frac{b(4+\pi)-10\pi}{8\pi}=0\\ b(4+\pi)-10\pi=0\\ b(4+\pi)=10\pi\\ b=\frac{10\pi}{4+\pi}\\ b\approx 4,40\) Como a derivada é crescente, ela varia de negativo (onde a função seria decrescente) para positivo (onde a função será crescente) ao passar pelo ponto crítico encontrado. Portanto, este é um ponto de MÍNIMO. A outra parte do arame valerá: \(a=10-b\\ a=10-\frac{10\pi}{4+\pi}\\ a=\frac{10(4+\pi)-10\pi}{4+\pi}\\ a=\frac{40}{4+\pi}\\ a\approx 5,60\) Espero ter ajudado! |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|