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Olá, a melhor forma de chegar à resposta desse limite é usar o limite notável de: \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1\)
Para isso, primeiro temos de transformar esse logaritmo na base 10 para base do número de neper com a regra da mudança de base.
\(\log(3x+1)=\frac{\ln(3x+1)}{\ln(10)}\)
\(\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{\log(3x+1)}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{\ln(3x+1)}{x\ln(10)} \right )=\frac{1}{\ln(10)}\times\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\ln(3x+1)}{x} \right )\)
Agora temos de fazer aparecer o 3x no denominador para se fazer a mudança de variável. Para isso faz-se da seguinte maneira:
\(\frac{1}{\ln(10)}\times\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\ln(3x+1)}{3x} \cdot \frac{3x}{x}\right )=\frac{1}{\ln(10)}\times\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\ln(3x+1)}{3x} \cdot 3\right )=\frac{1}{\ln(10)}\times 3 \times \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\ln(3x+1)}{3x} \right )\)
Então, vamos fazer a mudança de variável: \(y=3x\) quando \(x\rightarrow 0\), \(y\rightarrow 0\)
\(\frac{3}{\ln(10)} \times \lim_{y\rightarrow 0}\left ( \frac{\ln(y+1)}{y} \right )=\frac{3}{\ln(10)} \times1=\frac{3}{\ln(10)}\)
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