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e g: R → R dada por g(x) = xf(x + 1 + sen2x)

a) Calcule g''(x).
Minha resposta:
Considerei x + 1 + sen2x = u
Aqui eu aplique a regra do produto e obtive: x'.f(u) + x.f'(u); Como x' é a derivada de uma constante, escrevi como 1. Sendo assim: g'(u) = f(u) + x.f'(u)
Depois derivei novamente e obtive: g''(x) = f'(u) + x'.f'(u) + x.f''(u). Como x' = 1 então: g''(x) = 2.f'(u) + x.f''(u)
Essa resolução está correta?

b) Supondo f'(1) = -2, calcule g''(0).
0 + 1 + sen20 = 1 = u
Da resolução anterior:
g''(x) = 2.f'(u) + x.f''(u)
g''(0) = 2.f'(1) + 0.f''(1)
g''(o) = -4
Eu gostaria de saber onde errei... na lista de respostas o resultado é: -12.

Não basta usar a regra do produto, tem que usar também a regra da função composta... \((h(u))' = u' f'h(u)\).
Assim, por exemplo,

\(g'(x) = f(x+1+\sin 2x) + x (1+2 \cos 2x) f'(x+1+\sin 2x)\)

\(g''(x) = (1+2\cos 2x) f'(x+1+\sin 2x) + (1+2 \cos 2x -2x \sin 2x) f'(x+1+\sin 2x)+ (x+2x \cos 2x)(1+2 \cos 2x)f''(x+1+\sin 2x)\)

em particular,

\(g''(0) = 3f'(1) + 3f'(1)+0 = 6f'(1)=-12\)