Olá, a minha forma de resolução é elevar a expressão à base número natural, de forma a derivar sem ter o sin x no expoente.
\(u=e^{\ln u}\)

\((cos^2x + 1)^{\sin x}=\exp\left ( \ln\left ( (\cos^2x + 1)^{\sin x} \right ) \right )=\exp\left ( \sin x\cdot \ln\left ( \cos^2x + 1 \right ) \right )\)

Sabendo que \((e^u)'=u'e^u\) então a derivada será:

\(\left ( \sin x\cdot \ln\left ( \cos^2x + 1 \right ) \right )'\cdot e^{ \sin x\cdot \ln\left ( \cos^2x + 1 \right )}
=\left ( \sin x\cdot \ln\left ( \cos^2x + 1 \right ) \right )'\cdot(cos^2x + 1)^{\sin x}\)

Penso que agora já fica mais fácil. Qualquer dúvida só colocar.