Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Encontre os pontos críticos; valores de máximo e mínimo; intervalos de crescimento e decrescimento da função:

\(f(x)=\left\{\begin{matrix} x+4,\,\,\,\,x\leq -2 & \\ x^2-2,\,\,\,x> -2 & \end{matrix}\right.\)

Agradeço

Boa tarde,

Como f(x) é uma função definida por ramos, x=-2 é um ponto de mudança, logo, antes de mais, devemos verificar se a função é derivável neste ponto, utilizando por exemplo a definição de derivada.

\(\large g\, ^{'}\left ( -2\, ^{+} \right )=\lim_{x\rightarrow \, -2\, ^{+}}\, \frac{x^{2}-2-2}{x+2}=\lim_{x\rightarrow \, -2\, ^{+}}\, \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )}{x+2}=\lim_{x\rightarrow \, -2\, ^{+}}\, x-2=-4\)

\(\large g\, ^{'}\left ( -2\, ^{-} \right )=\lim_{x\rightarrow \, -2\, ^{-}}\, \frac{x+4-2}{x+2}=\lim_{x\rightarrow \, -2\, ^{-}}\, \frac{x+2}{x+2}=1\)

\(g\, ^{'}\left ( -2\, ^{+} \right )\, \neq \, g\, ^{'}\left ( -2\, ^{-} \right )\) . A função não é derivável em x=-2 , o que significa que a primeira derivada não está definida neste valor.

Por cada ramo, calcula-se a primeira derivada. Depois calculam-se os zeros das derivadas.
Estuda-se a monotonia da função f no intervalo x ≤ -2 e no intervalo x > -2 , recorrendo a uma tabela de sinais. Calculam-se as coordenadas dos extremos relativos em cada um dos intervalos.

Nota: Os zeros das primeiras derivadas são as abcissas dos extremos relativos e quando a 1ª derivada é positiva, a função é crescente, quando a 1ª derivada é negativa a função é decrescente.

TelmaG, é possível rascunhar a solução numa folha e postar aqui para que eu acompanhe melhor?

Essa parte dos limites laterais serem diferentes eu entendi, mas essa outra parte do estudo de monotonia da função por meio da tabela de sinais eu não sei.

Agradeço

Olá de novo,

Em primeiro lugar, deixa-me corrigir-te. No post anterior, o que eu fiz não foi calcular os limites laterais, mas sim verificar se a função era derivável no ponto de abcissa x= -2 , porque x=-2 é um ponto de mudança.

Por exemplo, observa o gráfico em baixo


Seja g(x)=|x-3| , que pode ser reescrita na forma de \(\large g\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x-3, \: x\: \geq\: 3 \\ -\, x+3,\: x\: < 3 \end{matrix}\right.\)

Como podes ver pelo gráfico e pela expressão analítica da função g, x=3 é um ponto de mudança, porque à esquerda de 3 tens a reta -x+3, e à direita de 3 tens a reta x-3 .

Verificar se uma função é derivável num ponto significa verificar se o declive da reta tangente nesse ponto é igual, quer à esquerda, quer à direita do ponto. Uma vez mais, pela análise do gráfico podemos concluir que o declive da reta tangente à direita de 3, é diferente do declive à esquerda de 3, pelo que a função não tem derivada neste ponto.

Na função que apresentaste passa-se o mesmo, porque x=-2 é um ponto de mudança.
Deves estar a pensar porque é importante verificar se uma função é derivável num ponto. Se uma função não for derivável num ponto, significa que não existe derivada nesse ponto e, a primeira derivada da função não vai estar definida neste pontp.

Volto a relembrar

Agora estamos em condições de estudar a monotonia de f. Para tal, vamos derivar cada ramo de f .

f ' (x) = (x+4) ' = 1

Como 1 > 0 , f ' é positiva ∀ x ∊ ] -∞, -2 [ , logo f é estritamente crescente neste intervalo, pelo que não se verifica a existência de extremos relativos em ] -∞, -2 [ .

f ' (x)=( x² -2) ' = 2x

\(f\, ^{'}\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \, 2x=0\Leftrightarrow \, x=0\)

Agora constrói-se a tabela



Como f é decrescente no intervalo ] -2, 0 ] e é crescente em [ 0, +∞ [ , f admite um mínimo para x=0 ( a abcissa do mínimo relativo é zero) . Este mínimo é o único extremo relativo de f ( na totalidade da função) .

Espero que pelo menos tenha elucidado melhor. Qualquer pergunta que queiras fazer não hesites em contactar-me.

PS: Peço desculpa pelos esboços improvisados no Paint e pela linguagem pouco rigorosa.

Meus caros,

Foi útil terem observado que em x=-2 a função não é diferenciável... Mas faltou tirar as consequências. De facto x=-2 vai ser um ponto onde f atinge um máximo relativo. Em geral, uma função contínua pode ter extremantes nas seguintes situações:

1. Pontos onde f não tem derivada.
2. Na fronteira do domínio.
3. Em pontos onde a derivada se anula.

Sobolev, obrigada por participar na discussão.

Peço licença ao autor desta questão para colocar a minha própria dúvida. Será que poderia exemplificar o caso em que a função tem extremantes em pontos onde a derivada se anula?

Boa noite Telma, o mínimo local que identificou neste exemplo (x=0) é um ponto em que a derivada é nula.