Pessoal,
Não estou conseguindo resolver esta questão. Se alguém puder me ajudar, ficarei muito feliz.
Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler \(e^{ix}=cos(x)+i.sen(x)\).
Obrigado.
Nil
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| Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=9555 |
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| Autor: | Nil [ 25 set 2015, 00:42 ] |
| Título da Pergunta: | Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) |
Pessoal, Não estou conseguindo resolver esta questão. Se alguém puder me ajudar, ficarei muito feliz. Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler \(e^{ix}=cos(x)+i.sen(x)\). Obrigado. Nil |
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| Autor: | skaa [ 25 set 2015, 14:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) |
\(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+...\) \(e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-...=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)=cos\ x+isin\ x\) |
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| Autor: | Nil [ 25 set 2015, 16:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) |
skaa Escreveu: \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+...\) \(e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-...=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)=cos\ x+isin\ x\) skaa, Não querendo "abusar" da sua ajuda, gostaria de saber, como faço isso para \(e^{i\pi }+1=0\)? Agradeço. Nil |
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| Autor: | Nil [ 25 set 2015, 16:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) |
skaa, Não querendo "abusar" da sua ajuda, mas como faz isso para \(e^{i\pi}+1=0\) ? Agradeço. Nilson |
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| Autor: | skaa [ 25 set 2015, 17:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x) |
Série de Taylor: \(cos\ x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...\) \(sin\ x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\) veja: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series |
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