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| um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=9849 |
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| Autor: | Rafael.......... [ 09 nov 2015, 14:54 ] | ||
| Título da Pergunta: | um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio | ||
um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio tem base menor e laterais de medidas sempre iguais a 1 m. se x representa a medida, em radianos, do ângulo entre uma lateral e uma altura de cada um dos dois trapézios congruentes usados na construção do bebedouro, quanto deve ser x para que a forma do bebedouro correspondente tenha o maior volume v possível?
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| Autor: | Sobolev [ 09 nov 2015, 15:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
O bebedouro com maior volume corresponde ao trapézio com maior área (o volume do bebedouro é a área do trapézio multiplicada por 7). Já a área do trapézio vai ser dada pela fórmula (verifique!) \(A(x)=\cos x + \sin x \cos x\). Consegue prosseguir? |
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| Autor: | jorgeluis [ 09 nov 2015, 16:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
seria melhor no desenho, mas aqui é mais trabalhoso desenhar !!! sendo as bases menores e as laterais dos trapézios igual a 1 e altura do prisma igual a 7, temos que as bases maiores podem ser encontradas por pitagoras, já que a base maior seria B=(x-1)+1+(x-1) ou seja, a base menor + laterais assim temos, em relação as laterais do trapézio e a altura do prisma: 12=(x-1)2+72 x2-2x-48=0 x=8 concluindo então, que o triângulo reto formado nas laterais do trapézio é isósceles, ou seja, (x-1) = 7 dessa forma, concluimos que o angulo formado é de 45o ou \(\pi /4\) rad |
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| Autor: | Sobolev [ 09 nov 2015, 18:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
No meu post anterior errei a expressão da área... na verdade \(A(x)=1+\sin x \cos x\). A resposta é de facto \(x=\pi/4\) mas devo dizer que não percebi o raciocínio do Jorge. A ideia é que podemos formar um prisma, qualquer que seja o valor de x, mas obtemos prismas de volumes diferentes. Temos é que escolher o valor de x que conduz ao maior volume. O Jorge parece calcular univocamente um valor para x, o que não é possível. |
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| Autor: | Baltuilhe [ 09 nov 2015, 22:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Boa noite! Sobolev, pra mim a sua equação \(A(x)=\cos{x}+\sin{x}\cdot\cos{x}\) está correta e a resposta para o volume máximo estaria em \(x=\frac{\pi}{6}\). Concordas? Espero ter ajudado! |
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| Autor: | Sobolev [ 09 nov 2015, 23:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Boa noite Baltuilhe, Sim, a minha equação inicial está correcta e o valor óptimo é \(\pi/6\). |
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| Autor: | jorgeluis [ 10 nov 2015, 13:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Meus amigos Sobolev e Baltuilhe, perdão, meu raciocínio realmente, está equivocado, pois o triângulo formado nos trapézios é obtusângulo isósceles de lados 1m, e os angulos congruentes podem ser obtidos pela Lei dos senos, uma vez que este triângulo pode estar inscrito numa circunferência de raio igual 1m. Assim, temos: 1/sen x = 2r sen x = 1/2 logo, x = 30o ou \(\pi /6\) este triângulo formado nos trapézios de altura h é semelhante ao triangulo formado pelo prisma de altura 7m em relação a sua base. Conclui-se então, que o angulo x é o máximo permitido para o preenchimento do bebedouro. |
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| Autor: | Sobolev [ 10 nov 2015, 14:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Boa tarde Jorge, Continuo a não perceber a sua resolução. Está a concluir que \(\pi/6\) seria o único ângulo possível? É que isso não é verdade... Se escolher \(x=\pi/3\) ou qualquer outro valor entre 0 e \(\pi/2\) ontem sempre bebedouros admissíveis. Se não é esta a sua linha de raciocionio, como decide que esse ângulo corresponde realmente ao maior volume? |
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| Autor: | jorgeluis [ 10 nov 2015, 15:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Sobolev, Diante das medidas apresentadas, angulo formado pelas bases do trapézio é de 30o, pela Lei dos senos, não existe outra forma de verificar isso. Diminuindo/aumentando o valor do angulo você diminui/aumenta o volume de agua, todavia, se aumentar o angulo a agua transbordará. Se tiver outra solução onde o autor do problema possa compreender, eu vou te agradecer junto com ele. |
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| Autor: | Sobolev [ 10 nov 2015, 20:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio |
Agora percebi o que quer dizer... Acho que levou a ilustração demasiado à letra. Imagine o prisma sem nenhuma água dentro, ao inclinar as laterais vai obter prismas com volumes diferentes. Na minha opinião a questão é apenas identificar qual o ângulo (ou qual o prisma) que permite armazenar mais água. De resto os dados do problema não permitem identificar especificamente o ângulo, a medida da base e das laterais (todas iguais a 1) não permite definir a forma do trapézio. |
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