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| Cálculo de maximização de área https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=9905 |
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| Autor: | Jow [ 17 nov 2015, 14:40 ] | ||
| Título da Pergunta: | Cálculo de maximização de área | ||
Um agricultor quer aproveitar uma parte de um muro já existente em sua propriedade e 180 metros de tela de arame para construir um cercado retangular a fim de plantar hortaliças. Nessas condições, obtenha as dimensões dos lados da cerca de modo que a área cercada seja máxima, de acordo com as medidas x e y da figura em anexo:
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| Autor: | Sobolev [ 17 nov 2015, 15:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de maximização de área [resolvida] |
Então, queremos maximizar a área dada por \(A(x,y)=xy\), sabendo que dispomos de 180m de cerca, isto é, que \(2x+y=180\). Como a restrição permite determinar y em termos de x, a função área pode ser simplesmente \(a(x)=x(180-2x)\). Esta função tem um único ponto critico: \(a'(x)=0 \Leftrightarrow 180-4x = 0 \Leftrightarrow x=45\) Como a''(45)=-4 < 0 e a função é concava (a''(x)<0) este ponto critico é um maximizante global. A área será maximizada com o rectangulo obtido quando x = 45, y=90. |
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| Autor: | jorgeluis [ 17 nov 2015, 17:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de maximização de área |
tamanho da cerca: 2x + y = 180 área do terreno: x . y se, y = 180 - 2x então, a função dada pela área é: f(x) = x . (180 - 2x) f(x) = -2x2 + 180x a maximização da área (ponto máximo) é dada pelas coordenadas do vértice dessa parábola. assim, temos: xv = -b/2a xv = 45 logo, se x = 45, y = 90 |
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